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数学乐旅-第5部分
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时下来，只输了二十块钱，但赌场会按照你输两百块钱的标准来给你谢礼，比如一张价值十元的餐券。那就相当于我只花十块钱，就在赌场里玩了半天。
而且基本策略也可以用来挣钱，那就是赚网络赌场的红利。网络赌场的成本远低于现实赌场，他们不需要起豪华高楼，不需要买设备器具，不需要雇人，也不需要白送酒水，因此一进入网络时代，网络赌场就如雨后春笋般，争先恐后地冒出在广阔无垠的网络沃土。为了竞争客源，每家网络赌场都会推出五花八门的优惠，其中最普及的一种是，新会员加入时，可以得到一笔红利作为奖励。数额因赌场而异，一般在50到200美元之间。
当然，这笔钱不会让你白白拿到，赌场规定，要在他们那里累计下注到一定数目，比如二十倍，才可以把那笔红利提出来。他们的如意算盘是，一般赌客每把平均会输5％，累计下二十倍的注，也就把白送的红利已经输回来了。这相当于用玩家自己的钱把他们吸引过来成为顾客。反正他们的成本不过是一台服务器、一套软件、一点带宽，最适合薄利多销。
显然，一个懂基本策略的人马上就会发现其中的漏洞：如果运用基本策略玩二十一点，只输0。5％，赌二十倍下来，才输10％，那就能白赚到90％的红利。——当然这么做的人只是少数，网络赌场的大多数顾客还是萝卜，使赌场仍然大赚特赚，乐此不疲地推出各种红利来，让我们这些“获利玩家（Advantage Player）”能一家家赌场挨个揩油。
赌场对我们自然也有防范措施，比如常规定红利不准取出，只能在赌场里赌掉。这种红利，在网络赌徒圈里有个浑名，叫“粘利（Sticky）”。不过人民群众自然也有对付它的办法：把剩下的红利拿到轮盘上去赌一把，输了就算了，赢了的话把多出的那部分取出，剩下的再拿去赌，这样能拿回的期望值是：
a ＋ a^2 ＋ a^3 ＋ …… ＝ a/（1…a）
其中a为每把赢的概率，是一个略小于1/2的常数，那么上式也就趋向于略小于1。
另一个有趣的规定是：一般人只要累计下注二十倍就可以取出红利了，但来自中国大陆的玩家则需要累计下到二百倍。看来国内同胞早已威震网络赌场界、横扫抢红包，吓得赌场都要专门把他们列为高危人群，让我觉得如果我不在网络赌场里赢上一把，简直要愧为中国人了。
于是我带着崇高的国家荣誉感，集中玩了一批网络赌场，三个月下来，也赚了有三千多块钱。然后我就对网络赌场失去了兴趣，因为比较好的赌场我都差不多玩遍了，但更重要的原因是，我已经逐步掌握了算牌的方法，揩网络赌场油与算牌所能带来的刺激和成就感比起来，便如河水之于沧海，完全不值一提。
二十一点算牌法的原理，可见附三。我趁着放寒假，练了两个星期的“高低算牌法”，到快开学前的那个星期，租了一辆车，揣着网络赌场揩来的3600美元，直奔大西洋城而去。
附二 二十一点基本策略
规则为：庄家在软17点时停止、无限分牌加倍、允许投降。
为了方便分析，我们先假设52张牌出现的概率始终相同，也就是说每张牌都是从一个无穷多副牌组成的牌盒里抽出来的，或者说前面出过的牌不影响后面的牌，换句话说，每张牌相互之间都是独立的。
首先，一个明显的结论是，每个点数出现的概率都是1/13，除了10出现的概率是4/13。这样，如果庄家的亮牌是A，他实际拿到BJ的可能性是4/13，拿不到的可能性是9/13。玩家投保险，保中了的回报是双倍保险金，没中的话输掉保险金，因此总预期收益是：
4/13 * 2 ＋ 9 * 1/13 * （…1） = －1/13
也就是说，从概率上讲，投保险是得不偿失的，平均13次保险中，赢4次，输9次，庄家占7。7％的优势。所以，永远不要买保险。
在二十一点中，玩家最大的劣势来自于，如果玩家的牌爆掉的话，赌注当场输掉，哪怕庄家随后也爆掉。因此，如果玩家模仿庄家的玩法：16点或以下要牌，17点或以上停住，必输无疑。
为此赌场在游戏里加入了各种功能：分牌、加倍、投降、玩家拿了BJ后赢一倍半，以吸引赌客。如果用正确的玩法，可以把庄家的优势缩小到0。5％。这就是所谓“基本策略”。
在上述规则下，基本策略为：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家点数
=17 S S S S S S S S S S
其中H表示“要牌（Hit）”，S表示“停牌（Stand）”，D表示“加倍（Double down）”，R表示“投降（suRrender）”。
以上的点数都是所谓“硬点数”，即不包括A或A算1点，以后如果不特别指明，各点都指“硬点数”。手中有A，而且A算11也不会爆掉，就是所谓“软点数”，（ …。。）应该运用下面这个表格：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
13 H H H D D H H H H H
14 H H H D D H H H H H
15 H H D D D H H H H H
16 H H D D D H H H H H
17 H D D D D H H H H H
18 S DS DS DS DS S S H H H
》=19 S S S S S S S S S S
“D”和“DS”都表示加倍，在不可以加倍的情况下，“D”表示要牌，“DS”表示停牌。
最后是分牌策略：
庄家：2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
玩家
A；A P P P P P P P P P P
2；2 H H P P P P H H H H
3；3 H H P P P P H H H H
4；4 H H H P P H H H H H
5；5 D D D D D D D D H H
6；6 H P P P P H H H H H
7；7 P P P P P P H H H H
8；8 P P P P P P P P P P
9；9 P P P P P S P P S S
10；10 S S S S S S S S S S
其中P表示“分牌（sPlit）”。
这三张表并不难背，因为里面有许多规律，最显著的就是有个分界线，横亘于庄家亮牌是6点和7点之间。6点以下是庄家的坏牌，比较容易爆掉，对玩家有利，7点以上则对玩家不太利。我写了个小程序，算了下庄家的各个亮牌所可能导致的最终结果的百分比：
亮牌 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
17： 13。9 13。5 13。0 12。5 16。8 37。0 12。9 12。0 11。1 13。0
18： 13。4 12。9 12。5 12。1 10。9 13。9 35。9 12。0 11。1 13。1
19： 12。8 12。4 12。0 11。6 10。3 8。0 12。9 35。1 11。1 13。1
20： 12。1 11。8 11。4 11。0 9。9 7。6 7。0 12。0 34。3 13。1
21： 11。4 11。2 10。8 10。5 9。4 7。0 6。6 6。1 11。2 36。2
爆掉： 36。4 38。3 40。3 42。2 42。8 26。4 24。6 22。8 21。2 11。5
由此再来看基本策略，就很好理解，也很好背了：
1，11点或更小时，总可以要牌，如果9点时庄家亮牌是3到6，10或11点时庄家亮牌比自己差，还可以加倍。
2，17点或更多时，总该停住。
3，12点到16点间，如果庄家亮牌是6或更小，就该停住，不然就该要牌。唯一的例外是12点对庄家亮牌2和3点时也该要牌。另外在自己拿到16点而庄家是9、10、A，或自己拿到15点，而庄家是10点时，应该投降。
对于嫌麻烦的人，记住以上三点，就已经够了，因为这张表涵盖了大多数情况，拿到A和两张同样点数的牌的可能性不是那么大。但是如果想少输点钱，还是必须把后两张表也背下来。好在它们也很有规律，比如软13到18点对庄家6点或更小的亮牌时，可以考虑加倍，其判断梯形为：不太有把握的软13、14点只对庄家的5、6点加倍，软15、16扩展到庄家的4点，软17、18则扩展到3点。
附三 二十一点算牌法
二十一点能够算牌，是因为我们在讨论“基本策略”时提出的一个假设不成立：
假设52张牌出现的概率始终相同，也就是说每张牌都是从一个无穷多副牌组成的牌盒里抽出来的，或者说前面出过的牌不影响后面的牌，换句话说，每张牌相互之间都是独立的。
显然，不可能有这样的由无穷多副牌组成的牌盒，前面出过的牌总会影响后面的牌。在算牌法刚出现的时代，赌场仍然使用一副牌来玩二十一点，那么这个影响就更明显。比如，发牌员发出牌来，你拿到两个10（包括J、Q、K），庄家亮牌也是10，翻出底牌来还是10，那么下一轮里10出现的概率已不再是4/13，而是12/48，即1/4，略低于4/13。同样的，其他点数出现的概率也已不再是1/13，而是1/12。
象轮盘赌这类游戏，每次轮盘转出什么结果，和上一次完全没有关系。还有牌九这类游戏，每玩过一轮，就重新洗牌。这些游戏里，每把赌博之间都是互相独立的。而二十一点的各把之间，在重新洗牌之前，不是独立的。前一把出现了什么牌，会影响到下一把。因此，如果我们能记住前面出过什么牌，就能大致预测以后的赌局走势，从而调整自己的赌注，在对自己有利时下大注，在对庄家有利时下小注或不下注，就能在这个游戏里占到优势。
UCLA的数学教授爱德华·索普（Edward Thorp）在六十年代初发明了二十一点算牌法。他注意到，如果二十一点里10出现的概率增高，对庄家是不利的，因为庄家在十六点及更低时必须要牌，10越多，就越容易爆掉，而对玩家来说，则更容易拿到BJ，赢一倍半的钱。所以他用一种“算10法（10…Count）”，计算剩下的牌中10的比例。正常情况下，这个比例应该是4/13，庄家占优势。但当前面出掉很多小牌，10的比例达到1/3时，优势就转移到玩家这边来了。
索普的运气不错，那时计算机也发明出来了，他找到IBM公司里的朋友，写了个程序来验证自己的算牌方法。那时的计算机跟今天比起来，还是速度低下、体积庞大的蠢物，足足运转了七天七夜，终于证明了这个方法是可行的。索普又自己到赌场里亲自实践，结果果然大赢特赢。
1962年他出版了《打败庄家（Beat the Dealer）》一书，向公众介绍了自己的算牌法。这不再是我们惯见的萝卜赌经，而是有数学基础的方法，因为它在不同的赢牌概率P（i）时下不同的赌注B（i），虽然总的胜利概率之和ΣP（i）仍然小于1/2，但只要在P（i）大时下大的B（i），P（i）小时下小的B（i），就能使总回报ΣR（i）P（i）大于ΣB（i）。
“算10法”比较难操作，需要极高的心智和注意力。好在群众的智慧是无穷的，算牌手们沿着索普指定的方向走下去，已经把算牌方法演进得越来越简单实用（索普本人在60年代后期就淡出了赌博界，带着他在赌场赢来的大笔资金，进入股票市场，运用他的数学知识，现在已成为超级巨富）。
我使用的是一种叫“高低法（High…Low）”的算牌法。在游戏过程中，我们把每一张出现的2，3，4，5，6都算＋1点，7，8，9算0点，10，J，Q，K，A算－1点，将各点相加，结果越大，就表示前面出现过的小牌越多，对玩家越有利。反过来，如果结果是个负数，就表示前面出过的大牌比小牌多，对庄家有利。
比如前面出现的牌是：
4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7
那么点数就是4张小牌减7张大牌，是－3。当然，在游戏过程中，你不可能叫庄家把牌局暂停，让你从容加减。你必须在每张牌出来时，就在心里默算点数。比如在上面的例子里，从第一张牌出现开始，你就应该在心里默算出：
1，1，0，1，0，－1，0，－2，－3，－2，－1，－2，－3，－3
在实际运用中，还可以采取两张牌一计的技巧，因为庄家发牌时一般速度较快，这样可以方便地把很多同时出现的大牌和小牌抵消不计，提高了算牌速度，减少了可能的计算错误。比如在上面的例子里，如果两张牌一计，那就是：
1，1，－1，－2，－2，－2，－3
如果是一副牌，－3已经是很糟糕的点数了，这时应该下最小注，或者停止不玩。不过一般来说，现在的赌场都使用六到八副牌，那么在六副牌312张牌内，发出14张牌，还剩298张牌，平均每副牌的点数是（－3）×52/298＝－0。5，还算可以忍受。
显然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌从开始发牌到洗牌的过程，这一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副数的牌）的开始，由于大部分牌还未发出，因此平均点数总是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多时，平均点数才可能比较显著地偏离0。所以算牌手在算牌时都会寻找合适的赌桌，一方面要找人少的桌子，因为人越少，你在单位时间内玩的次数越多，实际收益才会更逼近期望值；另一方面要找切牌少的发牌员，因为该切多少牌，赌场只有个大概的规定，具体执行还是要靠发牌员的觉悟，所以同一家赌场里，不同的发牌员切出的牌来常会差很多。
在点数变大时，该怎么提高赌注，每个算牌手都有自己的习惯和算度。贝尔实验室的J。L。Kelly推导出，在理论上，如果你占A的优势，本钱总数为R，那么最优赌注是B = A * R。
比如你有一万块钱的本钱，现在你占1％的优势，那么就应该在这把压下一百块钱。这种下注法称为Kelly法，是在理论上可以获得最大回报的方法。但在实践中，Kelly法过于冒险，只可视为下注时的上限。
斯坦福·王（Stanford Wong）在《二十一点的秘密（Blackjack Secrets）》里说，平均点数每高一点，可增加约0。5％的优势。他是二十一点算牌界里最有名的祖师爷级人物之一，甚至排在爱德华·索普之前，第一个进入了“二十一点名人堂（Blackjack Hall of Fame）”。我第一次看到他的名字时，还以为他是个华裔，后来在电视上看到他，才发现他是个白人老头。斯坦福·王其实是他的艺名：他毕业于斯坦福大学，再加上“王”这个很有气势的东方姓氏。他对中国文化好像很感兴趣，自己创办了一家出版社，就叫“Pi Yee”—�
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