物理世界奇遇记-第5部分

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“得，我该回房间去了。我得去拿我的写生簿。”她声明说，
“就让你们两人去讨论吧！午饭见！”
慕德走后，汤普金斯先生发表评论说：“我想，她大概很喜
欢学画。”
“学画？”教授亲切地看了他一眼，“我可不能让她知道你
这样说她。慕德是个美术家——一个专业的美术家。她已经颇有
些名气了。你知道，并不是人人都能在证券大街的美术馆办个人
作品回顾展的呀。上个月的《泰晤士报》就有一篇关于那个展览
会的侧面报道。”
“真的，”汤普金斯先生喊道，“你一定很为她而自豪吧？”
“的确是这样。一切都变得很好，非常好——最后。”
“最后？你指的是什么？”
“没什么，不过，这种转变正好是我原来不想让她干的事。
有一个时期，她是准备成为一个物理学家的。她很出色，在学院
里，她的数学和物理学都是班上第一。可是后来，她突然把它们
全都放弃了。就是这样……”他的声音低了下来。
教授定了定神，接着往下说：“不过，正像我说过的，她已
经有了成就，她也很快乐。那么：我还想要什么呢？”他透过餐
厅的窗子往外看着。“愿意同我在一起吗？我们可以在他们全都
出去以前，抢占两张帆布靠椅，然后……”他四面看了看，确信
慕德不在旁边以后，他用策划阴谋者的口气说，“然后，我们就
可以专门谈个痛快了。”
于是，他们走到海滩上，找了一个清静的地方坐下。
“好了，”教授开始说了，“让我们谈谈弯曲空间吧。
“为了简单起见，我们就拿个表面作为例子吧！让我们想象，
壳牌先生——你知道，他拥有许许多多加油站——决定查一查，
看看他的加油站在某一个国家里，就说是美国吧，是不是到处分
布得很均匀。为了这样做，他给他设在这个国家中部（我想，人
们一般都把堪萨斯市看做美国的中心）的办事处下了一道命令，
要它计算出离这个城市1000公里以内、200公里以内、300公里以
内加油站的数量。他从上学的时候就记住，圆的面积同半径的平
方成正比，所以，他预料在均匀分布的情况下，这样计算出的加
油站数目应该像数列1，4，9，16，……那样增加。　但是，当报
告送上来的时候，他却极为惊讶地看到，加油站实际数目的增长
要慢得多，我们就说它是按数列1，3。8，8。5，15。0，　…增长吧！
‘这是怎么搞的，’他喊起来了，‘我在美国的经理不懂得他们
的业务。把加油站都集中在堪萨斯市附近，这算是什么了不起的
想法呢？’可是，他这个结论作得对头吗？”

“对头吗？”汤普金斯先生重复了一遍，他正在想别的事哩。
“不对头的，”教授严肃地说，“他忘了，地球的表面不是
平面，而是一个球面，而在球面上，某一半径的面积随半径的增
大，要比在平面上慢一些。你真的看不出这一点吗？好吧，你拿
个球，自己好好试试看。比方说，如果你正好站在北极，那么，
半径等于经线的一半的圆就是赤道，它所包含的面积就是北半球。
把半径再增加１倍，你所得到的就是整个地球的面积了；这时，
面积只增大１倍，而不像在平面上那样增大到４倍。现在你明白
了吗？”
“明白了，”汤普金斯先生说，尽力使自己集中注意力，“
这是正曲率还是负曲率？”
“这就是人们所说的正曲率，正像你从这个球体的例子所看
到的，它所对应的是具有确定面积的有限表面的情况。具有负曲
率的表面，可以用马鞍作为例子。”
“用马鞍？”汤普金斯先生又重复了一遍。
“是的，用马鞍，或者，也可以用地面上两座山之间的鞍形
山口作例子。设想有个植物学家，住在一间建在这种鞍形山口的
茅屋里，他对茅屋周围松树的生长密度很感兴趣。如果他计算生
长在离茅屋33米、66米、99米……范围内的松树的数目，他就会
发现，松树的数目比按距离平方规律增长得快，问题在于，在鞍
形面上，某一半径所包含的面积，要比在平面上大一些。人们把
这样的表面称为具有负曲率的表面。如果你想把一个鞍形面铺开
在平面上，有些地方就得折叠起来；但是，在把球面铺成平面时，
如果它没有弹性，你就得把它撕开一些裂口才行。”

“我明白了，”汤普金斯先生说，“你的意思是说，鞍形面
虽然也是弯曲的，但它却是无限的。”
“正是这样，”教授表示同意，“鞍形面在各个方向都向无
限大展延，它永远不会闭合。当然啦，在我所举的鞍形山口的例
子里，只要你走出山区，表面就不再具有负曲率了，因为这时你
已经进入按正曲率弯曲的地面了。但是，你当然能够想象到，一
个处处保持负曲率的表面会是什么样的。”
“不过，这怎样用到三维的弯曲空间中去呢？”
“办法完全相同。假设天体在整个空间中均匀地分布——我
的意思是说，任何两个相邻天体之间的距离永远相同。再假定你
想计算出离你不同距离内的天体的数目。如果这个数目同距离的
立方成比例地增大，这个空间就是平坦的空间；如果增大的速度
比距离的立方慢一些（或快一些），那么，这个空间就具有正曲
率（或负曲率）。”
“这么说来，在空间具有正曲率的场合下，在一定距离内的
体积就小一些，而在负曲率的场合下，体积就大一些了？”汤普
金斯先生惊讶地说。
“正是这样，”教授笑了，“我看，现在你已经正确地理解
我的话了。为了研究我们所居住的大宇宙的曲率是正是负，恰恰
就需要这样去计算遥远天体的数目。你大概也听说过有一些巨大
的星云，它们在空间中均匀地散布着，一直到离我们几十亿光年
之远的大星云，我们都还能看得见。在这样研究宇宙的曲率时，
它们是非常方便的天体。”
“这实在太出人意料了。”汤普金斯先生嘟哝着。
“是的，”教授同意他的说法，“但是还有更离奇的呢。如
果曲率是负的，我们就应该期望三维空间会朝着所有方向无穷尽
地向外扩展，就像二维的鞍形曲面那样。从另一方面说，如果曲
率是正的，那就意味着三维空间是有限的，并且是封闭的。”
“这是什么意思呢？”
“什么意思？”教授想了一会儿，“这个意思就是说，如果
你乘坐宇宙飞船从地球的北极竖直地朝上飞去，并且一直沿着直
线保持同样的方向不变，那么，最后你就会从相反的方向回到地
球，在地球的南极着陆。”
“但是，这是不可能的呀！”汤普金斯先生喊了起来。
“从前人们不是也认为环球旅行是不可能的吗？过去，人们
认为地球是平坦的，所以，如果一个探险家一直准确无误地朝西
走去，人们就相信他会离出发点越来越远；可是，后来却发现他
从东方回到了他的出发点。这不是一样的道理吗？！还有……”
“别再还有啦！”汤普金斯先生想阻止教授再说下去——他
的脑袋瓜已经在旋转了。
“我们的宇宙正在膨胀着，”教授不理睬他的反对，继续往
下说，“我对你说过的那些星系和星系团正在彼此退行，拉大距
离。星系离我们越远，它们飞散的速度越快。这都是大爆炸产生
的结果。对了，你听说过大爆炸吗？”
汤普金斯先生点点头，心里却在想慕德到底上哪里去了。
“好的，”他的同伴接着说，“宇宙就是这样开始的。最初，
就是从一个点发生的大爆炸产生了宇宙万物。在大爆炸以前，什
么东西都没有：没有空间，没有时间，绝对没有一切。大爆炸是
宇宙万物的开始。后来，各个星系就一直在彼此飞散。不过，由
于它们之间互相施加着万有引力，它们飞散的速度正在逐渐减慢。
这里有一个同我们生死攸关的问题，那就是：各个星系飞散的速
度究竟是快到能够逃脱万有引力的吸引呢（如果能够，宇宙就将
永无止境地膨胀下去），还是它们有朝一日会停止飞散，然后又
被万有引力拉回到一起。如果它们被拉回来，那就会发生一次大
挤压。”
“在发生大挤压以后，会发生什么事呢？”汤普金斯先生问
道，他的兴趣被这个问题重新唤醒了。
“那可能就是世界的未日——宇宙不复存在。不过，也可能
发生反复——一种大反复。也就是说，宇宙可能是脉动：先是膨
胀，接着是收缩，然后又是另一个膨胀和收缩的循环，并且就这
样一直反复循环下去，直到永远。”
“那么，宇宙到底属于哪一种？”汤普金斯先生问道，“它
是会永无止境地膨胀下去，还是有朝一日会变成大挤压呢？”
“我也不敢说。这取决于宇宙中物质的数量——究竟有多少
物质在产生那种使膨胀速度减慢的万有引力。科学家们好像已经
很巧妙地把它测算出来了。物质的平均密度接近于所谓的临界值，
即把两种不同场面分隔开的极限值。但是我们还很难说它到底有
多大，因为我们现在已经知道，宇宙中的绝大多数物质都不会发
光，它们不像束缚在恒星上的物质那样闪闪发光。所以，我们把
它们叫做暗物质。由于它们是暗的，要想探测到它们便困难得多
了。不过我们已经知道，它们至少占宇宙中全部物质的99％，而
且正是它们使得总密度接近于临界值。”
“大糟糕了，”汤普金斯先生评论说，“我非常想知道宇宙
要走的是哪条路。可是，密度的问题却弄得这么难以判定，真是
太倒霉了！”
“哦——你说得也对也不对。正是宇宙的密度（在所有可以
采取的可能值当中）偏偏如此接近于临界值这个事实，使人们猜
想到这其中必然有某种更深层的原因。许多人认为，在宇宙的初
期，有某种起作用的机制自动引导密度采取那个特殊值。换句话
说，密度如此接近于临界值绝非巧合，这不是由于某种偶然事件
而发生的，实际上，宇宙的密度就必须具有临界值。事实上，我
们以为现在我们已经知道那个机制是什么了，它被称为暴胀理论
……”
“又在说些莫名其妙的话啦，爸！”
慕德的到来使得两个人吃了一惊。她是从他们后面走出来的，
当时他们还在专心致志地谈话呢。“歇一会儿吧。”她说。
“我们马上就谈完了，”教授还是不肯停下，他又转向他的
朋友继续说，“在我们被她这样没有礼貌地打断之前，我正想告
诉你，我们所谈过的这些事情全都是彼此相关的。如果物质的数
量多到足以产生大挤压，那么也就足以产生正曲率，结果，宇宙
将具有有限的体积，成为一个封闭的宇宙。但是，如果物质的数
量不够多……”他停了下来，对汤普金斯先生作了个手势，表示
现在该他把这个故事接着讲下去了。
“呃，如果，如果像你说的，物质的数量不够多……呃……”
汤普金斯先生显得非常扭怩不安——这不光是因为他觉得自己在
老师面前表现得很愚蠢，并且是因为他想到慕德故意在一旁听着，
而使事情变得更糟。“是的，我是想说，如果物质的数量不够多，
不能达到临界密度，那么，宇宙就会永远膨胀下去，并且——并
且——呃，我只不过是猜想……猜想会出现负曲率……并且宇宙
会变得无限大……”
“太好了！”教授喊了起来，“多好的学生啊！”
“真的是非常好。”慕德同意说，“不过，我们全都知道，
宇宙的密度很可能就是临界值，所以最后会停止膨胀——但这只
是在遥远的将来才会发生的事啦。这一切，我以前都听说过了。
现在，你想不想去泡一泡？”

过了一会儿，汤普金斯先生才认识到这个问题是对他提的。
“我吗？你是说我要不要去游泳？”
“是的。你总不会认为我指的是他吧，是不是？”她笑了。
“呃，可是我还没有换衣服呢。我得回去拿我的游泳裤。”
“当然啦，我还以为你会一直穿着什么东西哩！”她带着调
皮的神情说道。

　４　教授那篇关于弯曲空间的演讲稿

女士们，先生们：

今天我所要讨论的问题，是弯曲空间及其与引力现象的关系。
你们当中任何一个人都能够很容易地想象出一条曲线或一个曲面，
对于这一点，我是一点也不怀疑的；但是，一提到三维的弯曲空
间，你们的脸就全拉长了，你们大概认为，这是某种极不寻常的、
几乎是超自然的东西。为什么人们这样普遍对弯曲空间怀有“恶
感”，难道这个概念真的比曲面的概念更难以理解吗？要是你们
稍稍多想一想，大概就有许多人会说，你们之所以觉得难以想象
出一个弯曲空间，是因为你们无法像观察一个球的曲面，或者像
观察马鞍那类二维的曲面那样，“从外面”对它进行观察。但是，
那些说这种话的人，只不过是暴露出他们自己不懂得曲率的严格
数学意义罢了，事实上，这个词的数学含义同它的一般用法是有
相当大的区别的。我们数学家说某个面是弯曲的，那是说，我们
在这个面上所画的几何图形的性质，不同于在平面上所画的同一
几何图形的性质，并且，我们用它们偏离欧几里得古典法则的程
度来衡量曲率的大小。如果你在一张平坦的纸上画一个三角形，
那么，正如你从初等几何学所得知的那样，这个三角形三个角的
总和等于两个直角。你可以把这张纸弯成圆柱形、圆锥形，或者
甚至弯成更复杂的形状，但是，画在这张纸上那个三角形的三个
角之和，必定永远保持等于两个直角。
这种面的几何性质不随上述形变而改变，因此，从“内在”
曲率的观点看来，形变后所得到的各种面（尽管在一般概念中是
弯曲的），事实上是和平面一样平坦的。
但是，你要是不把一张纸撕破，你就无法把它贴切地贴在球
面上或鞍形面上；不仅如此，如果你想在一个球面上画一个三角
形（即所谓球面三角形），那么，欧几里得几何学那些简单的定
理就不再成立了。事实上，我们可以用北半