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中华学生百科全书-第428部分
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古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和
借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反
方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，
古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符
号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产
生了负数。
我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用
负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不
足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时
还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”
这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是
“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
印度在公元 7 世纪才采用负数，公元 628 年，印度的《婆罗摩修正体系》
一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到 1484 年，法国的舒开才给
出了二次方程的一个负根。1544 年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都
小的数。1545 年，意大利的卡当著《大法》，成为欧洲第一部论述负数的著
作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，
直到 17 世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计
算，所以负数才正式进入了数学。特别是 1637 年，法国数学家笛卡尔发明了
解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起
来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。但直到 19 世纪，德
国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学
中获得巩固的地位。
无理数的风波
无限不循环小数叫无理数。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。
公元前 6 世纪，古希腊有个毕达哥拉斯学派——一个宗教、科学和哲学
性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，以勾股定理、无理数的研究最为著
名。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之
比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，
或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃
惊。他们证明了这个数不是整数，绞尽脑汁也找不到这个分数，所以希伯索
斯等人阐述了这个发现。因其理论违背毕氏学派的信条而引起同伴们的狂
怒，竟被抛入大海。另有传说，毕氏学派规定，每当有新的发现发明，都要
保守秘密，不得外传，否则要受到严厉制裁。他们发现无理数后，视无理数
为一种不能言说的记号。有一门徒泄露了这一发现，便遭到覆舟毙命的惩罚。
然而真理是封不住的，不管毕氏门徒如何反对，无理数终于闯入了数的圣地，
使数的概念又扩展了一步。无理数是稠密的，任何两个有理数之间，不管它
们多么接近，都存在着无限多个无理数。
真实的虚数
“虚数”这个名词，使人觉得挺玄乎，好像有点“虚”，实际上它的内
容却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开方，如果被开
方数是正数，就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数，那怎么办呢？
比如，方程x2 ＋1= 0，x2 = …1，x= ± 1。那么 1有没有意义呢？很
早以前，大多数人都认为负数是没有平方根的。到了 16 世纪，意大利数学家
～
卡当在其著作《大法》（1545年）中，把 15记为R· m·15，这是最早
的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637 年法国数学家笛卡
尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1777年，欧拉在一篇论文中首次用“i”来表示 1，但以后很少有人注意它。
直到 19 世纪初，高斯系统地使用了这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示
a＋bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活
中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种
种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认
为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”
欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如
1、 2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a＋bi）用平面上的点来
表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复
数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在
水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内
容。真是：虚数不虚！
虚数的发展说明了：许多数学概念的产生并不直接来自实践，而是来自
思维，但只有在实际生活中有了用处时，这些概念才能被接受而获得发展。
π的“马拉松计算”
圆的周长同直径的比值，一般用π来表示，人们称之为圆周率。在数学
史上，许多数学家都力图找出它的精确值。约从公元前 2 世纪，一直到今天，
人们发现它仍然是一个无限不循环的小数。因此，人们称它为科学史上的“马
拉松”。
关于π的值，最早见于中国古书《周髀算经》的“周三经一”的记载。
东汉张衡取π=3。1466（又取π= 10）。第一个用正确方法计算π值的，要算
我国魏晋之际的杰出数学家刘徽，他创立了割圆术，用圆内接正多边形的边
数无限增加时，其面积接近于圆面积的方法，一直算到正 192 边形，算得π
3927
=3。14124，又继续求得圆内接正3072边形时，得出更精确的π= =3。1416，
1250
割圆术为圆周率的研究，奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分
重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3。1415926＜π＜3。1215927，又求得π = 355（密率），
π =
113 7
（约率），使中国对π值的计算领先了1000年。为此，有人建议把π = 355称为
113
“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
17 世纪以前，各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆内接和外切正多边
形来进行。1427 年伊朗数学家阿尔·卡西把π值精确计算到小数 16 位，打
破祖冲之千年的记录。1596 年荷兰数学家鲁多夫计算到 35 位小数，当他去
世以后，人们把他算出的π数值刻在他的墓碑上，永远纪念着他的贡献（而
这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束，欲求π的更精确的值，需
另辟途径）。
17 世纪以后，随着微积分的出现，人们便利用级数来求π值，1873 年算
至 707 位小数，1948 年算至 808 位，创分析方法计算圆周率的最高纪录。
1973 年，法国数学家纪劳德和波叶，采用 7600CDC 型电子计算机，将π
值算到 100 万位，此后不久，美国的科诺思，又将π值推进到 150 万位。1990
年美国数学家采用新的计算方法，算得π值到 4．8 亿位。
早在 1761 年，德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。
将π计算到这种程度，没有太多的实用价值，但对其计算方法的研究，
却有一定的理论意义，对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。
运算符号的由来
表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、…、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“…”是减法符号，表示相减。
“＋”与“…”这两个符号是德国数学家威特曼在 1489 年他的著作《简算
与速算》一书中首先使用的。在 1514 年被荷兰数学家赫克作为代数运算符
号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到 1630 年，才获得
大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631 年，英国数学家奥特轩特提出
用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过
来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞
士学者雷恩于 1656 年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才
逐渐被人们认识和接受。
关系符号
表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符
号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“＝”，读作“等
于”。例如：3＋2＝5，读作三加二等于五。第一个使用符号“＝”表示相等的
是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，
读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，
读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家
哈里奥特于 17 世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约
等于”。例如：π≈3．14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等
于”。例如 4＋3≠9，读作四加三不等于九。
“ ”的来源
最早用“ ”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“ ”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“ ”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“ ”，
必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。
奇妙的数字“9”
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9 来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S = 。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q 是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……
= 10 100 1000 10000＋Λ
6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 Λ
0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……
= 100 10000 1000000＋Λ
24 ＋ 24 ＋ 24 Λ
1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10 ，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6
0。66Λ Λ 10 6 = 6
1 =
1 101 9
10
24
0。242424Λ Λ 100 24 24
1 = =
1 1001 99
100
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由 9 组成，循环节有几位数字，分母是几个 9 就行了。例如：
4
0。4444Λ Λ = 0。4 =
9
56
0。5656Λ Λ = 0。56 =
99
031233123Λ Λ = 0。3123= 3123 = 347
9999 1111
下面再来看看以下两个循环小数：
0。2888…… = 0。28 ； 0。3545454Λ Λ = 0。354它们都不是从小数点后的第一
从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
2 8 8 8
0。28888 =Λ Λ 10 100 1000 10000＋Λ
＋ ＋ ＋ Λ
0。35454Λ Λ = 3 54 ＋ ＋ 54
10 1000 100000
1 1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2 100 2 8
0。2888Λ Λ = ＋ = ＋
10 1
1 10 10010
100
2 8 2×9＋8
= ＋ =
10 90 90
= 26 13
=
90 45
54
3 3 54
0。35454Λ Λ = ＋ 100 = ＋
10 1
1 10 100010
100
3 54 3×99＋ 54
= = ＋ =
10 990 990
= 351 = 39
990 110
由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由 9 和 0
组成，9 的个数等于一个循环节的位数，9 的后面写 0，0 的个数等于循环部
分的位数。例如：
27 2 25 5
0。27777Λ Λ = 0。27 = = =
90 90 18
0。31252525Λ Λ 0。3125= 3125 31 1547
=
9900 4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。
神奇的“缺 8 数”
“缺 8 数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是 8，却是 7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢 7 吗？拿出你的计算器，我�
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