零的历史-第2部分

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　　　　=180　　　　
　　　　注意楔形的大小是很重要的：62　　　和3　　　的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？　　　　
　　　　直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小，　　　　　　　　　　总是表示202：3个60，2个10另加2。　　　　　表示182：3×60＋2。　　　　
　　　　这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）＋（5×10）＋（4×1）一样，　　　　
　　　　　　　表示是62，但　　　　表示是3　661；　　　　
　　　　↑　↑↑↑↑　　　　
　　　　　（1×60）＋　2　（1×602）＋（1×60）　＋　1　　　　
　　　　和　　　　
　　　　　　　　　　　　是754。　　　　
　　　　↑↑　　　　
　　　　　（12×60）　＋34　　　　
　　　　=720　　　　
　　　　这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示　　　　　　　　　　　）　　　　
　　　　↑　↑　　　　
　　　　（33×60）＋　19　　　　
　　　　=1　980　　　　
　　　　而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法　　　　
　　　　43　　　　
　　　　　＋14　　　　
　　　　57　　　　　
　　　　是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。　　　　
　　　　对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，　　　　
　　　　　　　　　
　　　　但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做　　　　
　　　　82　　　　
　　　　　＋41　　　　
　　　　　123　　　　　
　　　　（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　6个10是1个60，3个单位　　　　
　　　　再加上原来已经存　　　　
　　　　在的1个60　　　　　
　　　　我们就得到2个60　　　　
　　　　对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。　　　　
　　　　索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。”　引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180：　　　和3：　　　呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。　　　　
　　　　但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号　　，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此　　　　
　　　　　　　=125　　　　
　　　　↑↑　　　　
　　　　　（2×60）＋5　　　　
　　　　但是　　　　　=7205　　　　
　　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（2×602）＋（0×60）　＋5　　　　
　　　　=7　200　　　　
　　　　正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：　　　　
　　　　　　和　甚至是　或者　。　　　　
　　　　在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？


第一部分　透视零第4节　思想的印迹（3）

　　　　然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。　　　　
　　　　正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。　　　　
　　　　在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。　　　　
　　　　经过漫长得令人叹为惊止的思想里程，当一个完美的思想灵感给了我们计算技巧的时候，零以印在一块湿粘土上的两个楔形形式开始了它的生涯。我们通过给不同数量事物以不同的数字命名和符号来记数：1，2，3……，但是如果一定要给每个新数量一个全新的名字和符号，就会穷尽你所有的心智和记忆。试试吧，给前二十个数字编上不同的符号，例如：　　　　
　　　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，γ，/，§，◇，¢；，▽，┓，Ψ，∧，ㄚ，λ　　　　
　　　　那么，7加8等于多少呢？是▽。　　　　
　　　　那么Ψ减去　/　呢？从Ψ开始往后数　/　位，是6。　　　　
　　　　又比如，γ加上∧呢？很不幸，我们还没有为它创造新的符号。即使现在来构思，我们也不得不首先创造出另外的七个符号。　　　　
　　　　这个问题一定是在每种文明的初期就得到了解决，就象我们孩提时代做的那样：先把想要计数的物体分成堆，这些堆中包含的物体都是相等的易处理的数量单位。例如，　　　　
　　　　　　　　　是　　个　　　　　　
　　　　因此不引人注意的γ＋∧就变成　　　　
　　　　　　　　＋　　　　　　　　　　　　
　　　　等于　个　再多上　。　　　　
　　　　这种基本的数量单位通常是5或10，正好是我们手指的数量，或者是别的可以一目了然的数目（我们数鸡蛋或英寸用“打”——十二）。　　　　
　　　　一旦有了这种捷径（这种捷径给我们由加到乘的混合运算带来了巨大飞跃），新的需要就随之而来：如果　　　　＋　　　　　　　　一共是　个　再加上　，它确切的代表什么样的一个数目呢？终究不还是要创造一个新的符号吗？在不同的文明中出现了不同的答案。或许来自于记数符木（古时用，上有刻痕记载交货、欠款等的数量——译者注）上的一个笔划，或许来自市场上人们常用的手势，罗马人用Ⅹ表示含有　　　个数量单位的一堆物品，Ⅴ表示　个（‘Ⅴ’代表的数量是‘X’的一半，也是X的上半部，一只手所能代表的数量单位）数量单位，因此，按照从左到右书写单词的习惯类推，XV代表三个5。他们用XX（两个10）表示四个5，而不是冗长的VVVV或XVV。　　　　
　　　　那么，γ＋∧问题就变为　　　　
　　　　X＋XVⅢ=XXVⅢ。　　　　
　　　　这看上去似乎是一个很有前途的方法，但当你为庞大的数目而写长串的X而感到厌烦时，这个方法也陷入了困境。至少你又回到了不得不接二连三创造新符号的原状。罗马人用L代表50，所以LX是50多10，就是60；XL表示差10不到50，就是40；C代表100，D代表500，M代表1000——像债务或少女的嫁妆一样不断增加——用以旧符号为中心加三个边框的符号来表示原数值的100　000倍。因此，当利维亚（Livia）给格尔巴（Galba）留下了50　000　000塞斯塔斯（sesterces古罗马货币单位——译者注）的遗产，她的儿子台比留（Tiberius公元1世纪14…37年间为罗马皇帝——译者注）皇帝——对任何人都毫无感情，当然对格尔巴（尽管是他母亲留下的继承人）也不例外——坚持认为　应该读作　，是500　000塞斯塔斯，quia　notata　non　perscripta　erat　summa，“因为这个总数是个符号，符号没有写清楚”。我们可以想象从皇帝口中说出这样的话。　　　　
　　　　这种计数方法每天都产生很多问题，而且不仅仅是在律师的办公室里。　　　　
　　　　43＋24等于多少？对于罗马人来说，就是　　　　
　　　　XLⅢ＋XXIV，　　　　
　　　　把两个数字对齐，无法自动得出答案是LXVII。过去，用这样的数字体系描述一个大数目是困难的（即使用后来缩写的罗马字母表示也是困难的，1999是MCMXCIX：　　　　
　　　　MC　M　XC　IX　　　　
　　　　↑↑↑↑　　　　
　　　　1　000比1　000少100是900　比100少10　是90　比10少1是9）　　　　
　　　　用它们计算更是令人望而却步（想象着尝试一下减法、乘法、但愿不是除法）。　　　　
　　　　我们现在想当然地认为，有一个神奇的天才改进了数字的表示方法，使我们毫不费力地进行计算。令人迷惑的0——代表一无所有——为这个发明划上了圆满的一笔。　　　　
　　　　故事起源于大约5　000年前定居于美索不达米亚（Mesopotamia现在部分属于伊拉克）的苏美尔人。当你在他们用于记事的粘土块上读到这样的父子间的对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么来晚了？”，这时你会感觉5　000年前的事就象刚刚过去的一个晚上发生的。　　　　
　　　　苏美尔人使用1进制和10进制来计数，也用60进制。乍一看有点难以接受，想想我们现代也还在使用这样的进制就不足为奇了。一小时有60分钟（6×60=360，圆分为360度，每分钟占6度）。更进一步，我们一年用12个月来计算，一周用7天来计算，一天用24个小时来计算，一磅或一品脱有16盎司。直到1971年英国还使用12分一个先令，20先令一磅这样的币值。　　　　
　　　　对这些不同体系的发展进行深入研究，你会发现它们都是相互磨合，相互妥协的历史，你认为神秘离奇的事情其实是最自然不过的了。苏美尔人遇到了与他们度量衡不同的另一种文明，首先是衡制，然后是币制，苏美尔人的六十进制很可能就是在处理与这种文明间的不同时产生的。可以猜想，苏美尔人把某个重量称为1，随之更重一些的是2，3等等，直到10的整数倍；当然也有1/4，1/3，1/2和2/3这样的分数重量。　　　　
　　　　现在我们设想，如果他们和一个与他们有相同比率的邻部族间进行商业往来，但基本单位却是他们自己的60倍，你可以想象商人们在换算出他的币值等于多少时是多么的困难。比如，他们贸易伙伴的7　个单位换算到自己部族的币值中是多少呢（即使是物物交换的贸易，精确的记录也应该保持价值相当）？当你用60为单位重新进行思考时，困难就迎刃而解了。由于7　×60=460，那么就是460个苏美尔单位。另外，60的1/4，1/3，1/2，和2/3都是整数——易于处理的。我们永远也不可能知道这种重大决定的细节（签订协定时，喝掉啤酒的杯数和围绕着基本单位的比率是高于或低于60的秘密协定），但我们确实知道在苏美尔度量体系中，60个谢克尔（shekel古希伯来或巴比伦的衡量和货币单位——译者注）是1个迈纳（mina古代希腊的金额单位和重量单位——译者注），60个迈纳是1个塔兰特（talent使用于古代希腊、罗马和中东的一种可变的重量和货币单位——译者注）。　　　　
　　　　直到今天，我们在用数字计算的路程上似乎也并没有前进多远。如果有什么区别的话，那就是苏美尔人似乎还处在10进制与60进制的混乱状态下。但是如果我们想知道这种混乱状态是如何结束的，我们除了想象几千年前的事外别的什么也做不了。　　　　
　　　　苏美尔人通过使用中空的芦苇管尖在湿泥块上印出圆或半圆来进行书写，然后把泥块烘干来进行保存（大量的这种记事簿在经历了遥远的岁月后依然幸存了下来，而20世纪60年代写在计算机穿孔卡上的文件已不复存在）。最后芦苇管被三棱的铁笔所代替，用它可以写出这样的楔形符号：　；或者旋转成不同角度，成为一个“钩”：　　。虽然在大约公元前2　500年，苏美尔人被阿卡得（Akkadian）人征服，但十进制与六十进制的混合数制仍被完整无缺地保存了下来，到公元前2　000年（古巴比伦时代）数字演变成这样：　　　　
　　　　1　　　　　
　　　　2　　　　　　
　　　　3　　　　　　　
　　　　4　　或者后来是　　　　　
　　　　5　　　　　
　　　　6　　　　　
　　　　7　　或者后来是　　　　　
　　　　8　或者后来是　　　　　
　　　　9　或者后来是　　（对角线代表3×3）　　　　
　　　　对于10他们用一个“钩”来代替：　　　　　
　　　　所以11是　　　　　　
　　　　12　是　　


第一部分　透视零第5节　思想的印迹（4）

　　　　依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是　　　）。20是　　，30　是由3个“钩”组成，有不同的排列形式：　　　　，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是　　　　，59是　　　　　　　
　　　　在这里六十进制突然