零的历史-第27部分

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，他在1816年发表了一篇关于这个排列次序法则的短文，可能超出其能力的原因，并没有给出证明。然而也不排除这可能是他对亨利·古德维恩（Henry　Goodwyn）在1818私下传播的一本书进行了抄袭。亨利·古德维恩在那本书里已经给出了这个法则和证明。那我们从今以后应当叫它“古德维恩序列”？不是的：在此14年前就曾这个序列就出现在一个叫赫罗斯（Haros）的法国人的论文里，现在已经失传了。在沉思历史中，克莱奥（Clio）获得了具有讽刺意味的报偿，即她注意到在《国家传记辞典》里，费瑞是由于写的关于木料测定法和德贝郡（Derbyshire）山峰的高度的论文才被简要的记录下来，而没有提到是由他单独提出的以他的名字命名的序列。　　　　
　　　　无论谁是发明者，这个序列都有些令人难以置信的意味。你可能会认为极小的正分数不会出现（你可以一直都处于任意候选者与0之间的半途中），因为没有开始位置就意味着不能算出它们。再加上在任何两个数之间又有密集的分数，那么我们去推论说有大量的分数没有计算出来似乎就是合情合理的了。然而我们已经计算出的这个序列展示了这些数字连接了所有的数字，它们的确都能被计算出来：　是第一个，　是第二个，　是第三个等等，依次进入我们的列表。我们使这些数字与将要计算的数字协调搭配的方式可能是奇异的，但是它达到了目的：尽管计算出的数字看起来似乎远少于有理数的范围，但二者确实一样多。它的非凡的理性使通常的判断力失调。而正是这种令人惊奇的结果引导先驱们去数字的自由王国里研究开发，也正是这种令人惊奇的结果使所有花费在数学上的努力都变得值得。客观世界和头脑都是神秘的，但是它们的神秘是可理解的。　　　　
　　　　从0和1出发我们已经得到所有的有理数并且获得一个极好的见识。但是问题仍然遗留下来，就是我们能够仅用0得到所有的有理数吗？如果我们能够用0产生1，那么就可以用像上面一样的简单过程来完成它。这是那些修道士的梦想，在12世纪有一个修道士写了塞勒姆规则（Salem　Codex），他这么写道：　　　　
　　　　每一个数字都起源于1，转过来这个1又来自0，这里面存在着一个巨大的和神圣的秘密，他从虚无的零中创造了一切，保存着它，并控制着它：omnia　ex　nibilo　creat；　conservat　et　gubernat。　　　　
　　　　（现在，停下来一分钟，就像吉米·斯图尔特（Jimmy　Stewart）说过的。你还记得住在英格兰巴思小镇的艾德拉德先生——大概也是12世纪——有一个学生叫做N。欧克瑞特（N。　O'Creat）。但是，我们这里是在用一个精心制作的中世纪的玩笑来代替处理我们的一个意义深刻的双关语吗：男巫师虚无不存在的徒弟克瑞特（nihilo　creat）变成了N。　欧克瑞特（N。　O'Creat）？纳伯科夫的精神活跃在艾德拉德所住的小镇巴思吗？）　　　　
　　　　尽快使你自己远离上面插话所展示的场景吧，回到至今更加吸引人的验证1来源于0的前景中。因为用少许的计巧，不需要上帝仅我们人类就能做到它。


第四部分　有蜘蛛的浴室第36节　李尔王是正确的吗？（2）

　　　　需要少许简单的预备知识。第一，如果你将数字n乘以某个数后期望其结果仍为n，那么这个数应该是众所周知的乘法单位1。第二，一个集合（称为S）仅仅是物的积聚，将其划分为两个子集，称为A和B。所以无论最初在S集合里是什么，最终都将以A或者B结束。最后，空集中无任何事物，它是任意集合的子集。（如果盒子里有十个弹球，放入一个隔离物以便于将所有弹球分割于其右边，那么你已经划分出了这个盒子的两个子集：左首的是空集，右首包括所有弹球）。现在我们可以开始了。　　　　
　　　　盒子中没有分开的筹码盒子中被分开的筹码　　　　
　　　　去拿来一堆吉尔伯特的筹码，在它们每个上面写有一个数字，把它们放入一个盒子，当你取出它们任何一个时将其上面的数字与已经取出的所有筹码上面的数字相乘，这么做下去，你就会将所有数字相乘，得到的结果称为r。现在将一个隔离物放入盒中，将所有筹码洒落下来，其中一些会落在左边（A）的隔区内，另一些落在右边（B）的隔区内。从A中取出所有筹码将其连乘，得到的结果称为p。同样对B部分进行操作，得到的结果称为q。显而易见p·q=r，因为等式两边做了同样的乘法运算，不论任何一边有多少筹码仅仅是把它分为两个部分，即是它们都落在B中，A为空，仍就应该p·q=r。但是现在B已经有了所有筹码，q=r；那么意味着（按照上段最初的论据）p=1：即元素全为0的集合其结果为1。　　　　
　　　　你会认为这太牵强了吧？我们仅把它作为一个深切表明了数学原则的递推抽象的例子。它超出原有意义的范围，扩充了乘法概念。数学领域的荣誉与绝望一带相连，它要求你的思想要充满活力就像去参加一个五英里的登高运动一样。据说杰出的数学家约翰·冯·诺尔曼（John　Von　Neumann）说过，在数学领域里，你不必去理解一些事情而要习惯于去接受它们。但是当每一个事物回退到无法证明的原理的尽头时，在这一领域内大部分的研究人员会认为他们的论据是适当的，他们所要证明的似乎是转移到了对人们直觉的估量上来了。数学不但精彩而且简单，所以让我们尝试用简单的方式从0获得所有事物。那我们就再回头到空集的观念上来。　　　　
　　　　它是一个观念，还是它根本就不存在？我们可以把集合当作以‘xwyz’开始的代码集合，来说明它。就我已经请教过的朋友和参考书所知，没有这样的说法：集合是空的。集合中所有的数字都是不寻常的，其排列像英雄史诗式两行诗一样有规律。只要你留心注意，似乎很容易发现空集。但是这些不期而遇者（如果称为不期而遇，那就像你昨天在楼梯上遇到的并不是那里的人一样）并不能很好保证在数学上的存在性。存在性仅能从公理上推导演绎。既然这样就应该从集合论的公理本身出发。对你来说似乎没有必要那么严格，但是如果你想让数学通往独立并极成功的新领域，那么其中的创造性物质还必须从数学中推导出来，而不会来自其他的任何地方（比如经验）。而事实上，早在二十世纪早期已经形成为著名数学学科（有些人称为根源）的集合论的七公理之一就是假定了空集的存在。　　　　
　　　　如果一些事情使你费功夫的话，例如空集，那么就直接引入一个纯粹的声明来说明其存在（公理就是发布的所有人都信服的基本原理）。那么就要注意到那些数学规则和你声明的东西要相互协调。数学令人着迷的特性之一就是这些创造物与原理结合起来去控制它们的行为（在执行过程中它去让执行者知道0是形容词，名词还是动词又变得很困难）。从概念上说与这些原理应该有不多不少的事实。但是随着过程的进行，这个领域逐渐就展开了。从实践的优点看，它们采取的是事先预定的前提而不是结论。　　　　
　　　　那也就是说一直以来我们必须承认空集是一个特例。提出集合论原理的第一人厄恩斯特·泽尔麦罗（Ernst　Zermelo）在1908这样来表达他的第二个公理：假定存在一个不包含任何元素的集合，空集0。为什么要假定呢？假定的空集是怎样存在的呢？我想我们在这里所看的和我们在第七章承认那些从远方被召来到北爱尔兰的居民身份的遭遇一样。也许在第七代以后这样的家庭会被当作本地人吧。　　　　
　　　　如果你仍对生活中是否和为什么存在空集感到不满的话，那么以安塞姆（Anselm）对上帝存在的论证方式进行一下讨论你可能会满意些。它是由一个名叫韦斯利·塞尔曼（Wesley　Salmon）的哲学家提出来的。他写到：“愚人会在心里认为不存在空集，如果那是真的话，那么所有的集合都为空集，故空集存在。”　　　　
　　　　无论如何人们已经认定了空集存在或者已经找到了它。其中对它的一种表示方法就是用一个成对的大括号，并且其中无任何字符：｛｝。另外一种表示方法Ø；，它展示了我们在一千多年里研究达到了什么程度，因为旧时也分别引用过φ，θ来表示0。不论符号表示的变化是否恰当，其意义并不是说甚至连一个0也不存在这个集合中，而是确认了0作为一个成熟的数字的地位。　　　　
　　　　通过0也就是空集来获得一切事物，我们的目的就是展示李尔王的错误。这种技巧是在1923年由约翰·冯·诺尔曼努力实现的。尽管你可能会认为它尽管简单和比较含糊，我们还是习惯于接受它。冯·诺尔曼说，把0等同于空集，并不是说在空集里含有0。现在认为容纳一个空集的集合为｛Ø；｝（如果你愿意的话也可以选择｛｛｝｝）。既然这个集合包含了一个元素即空集，那么我们就把它等同于数字1。那么数字2呢？就可以用一个集合再容纳当前的集合｛Ø；，｛Ø；｝｝来表示，等等。每一个新的集合都容纳了当前的所有集合，并代表了新的整数。　　　　
　　　　好了！我们已经从空集得到了所有的整数，从这些整数出发用众所周知的方式我们又可以得到负数、分数、实数和虚数。十九世纪的数学家利奥波德·克如奈克（Leopold　Kronecker）（　康托尔的对手）说：“上帝创造了整数，其余的部分由人类来完成。”按冯·诺尔曼的讨论方法连整数也是人类来完成的，而上帝——欧肯的精神——被独自晾在一旁了；里尔克（Rilke）在1925写到“我们就是那些默默无闻辛勤劳作的蜜蜂，我们的任务就是把抽象的浅显化”。　　　　
　　　　你可能会为冯·诺尔曼的模糊方法感到不安，因为它有一种像在针尖上跳舞的天使的意味。我们为数学精确度所付出的代价就是受到了某种程度的约束（像我们在十和十一章所看到的那样），提醒你的是，并不是要让新生的事物从我们的知觉中萌芽，而是要把它和我们的知觉联系起来。　　　　
　　　　我们已经经历过的这整个过程，就像一个很久以后才知道自己背离了目标的侦探一样，抱定决心要追踪一个不明的线索。不能仅在数学上使用递推回归的方法，那是因为我们的思想被引向了形式主义，就像将其排除于人类之外，使它像上帝一样。只有当我们投入很大的精力来考虑这个数字，我们才能意识到它的空洞，在我们所知的数字上加0和进行相乘，可以扩展到更大的一般性，更容易使我们理解0。这就是大范例引导我们到达的地方？——或者说是形式主义而不是职业病趋向于错误的扩大与消失的内容的相关性？所以这些促进思考的符号最终要由其实质所替代。　　　　
　　　　然而在许多情况下，数学像一个花园一样，需要经常整理和修剪那些移植入的并且可能茁壮成长的植物，尽管它可能是突兀的，最终这个最好的扎结物也是去承认那些原理。冯·诺尔曼所描述的“要习惯接受”就是一种理解从根上升到茎的方式。　　　　
　　　　现在“承认真理”已经归结为遵循严密的推理演绎，如果一个形式主义者告诉你最符合的常规做法，而却从否定它出发，那么你会得到什么呢？　　　　
　　　　一个细微的地方就可能是正误的分界，　　　　
　　　　这是菲茨杰拉德（Fitzgerald）对奥马尔·凯亚姆（Omar　Khayyam）的翻译中的一句话。如果我们不加区分将它们随意连接在一起会怎么样？下面展示了美国哲学家C。　S。　皮尔斯（C。S。Peirce）在1880年的论文中的事实。　　　　
　　　　这个故事是离奇的。皮尔斯从来没有出版过论文，即使出版过也会被忽略的，因为他一直都缺乏别人的赏识。他说“我的大脑混乱不能像别人一样思考”。他所展示的是重新露面的和亨利·莫里斯·舍菲尔（Henry　Maurice　Sheffer）在1913年所研究出来的几乎一样的符号论。亨利·莫里斯·舍菲尔的不朽业绩就是对符号的研究。一个书法家关心形态的热情就象关心他们自己一样，你可以把亨利·莫里斯·舍菲尔当作这样的人。但是我们将沿着皮尔斯所研究的方向前进。　　　　
　　　　我们仅讨论那些公布了的文句，他们仅把0和1作为确切的值。我们同意这个假设，命题要么正确要么错误，那么一个复合句的确切含义主要依靠于它的复合方式和它的组成元素的确切含义。所以“愿望是马，乞丐乘”只有前后两部分都为真，才能为真。即：愿望得到马，并且乞丐去骑，这个时候我们才说，这个命题是正确的。如果每个组成元素都有确切值0，那么复合值也将有确切值0。如果你愿意的话，你可以用一个表格和连接词“与”来表示，用A和B代替组成元素，用行来表示含有确切值0和1的A和B之间的所有可能的组合方式　　　　
　　　　　这是用逻辑“与”所表示的列表。你可以根据其他的连接方式作出适当的表格，如：A或B，如果A那么B，如果且仅仅如果B那么A等等（例如，“愿望是马，乞丐乘”，假定第一部分为真，第二部分为假，即：愿望为得到马，乞丐却不能骑，则此命题为假。）。　　　　
　　　　从上述四种关系中我们可以得到0、1之间有16种排列方式，并且每种排列都以不同的方式连接两部分语句。皮尔斯表示他们中的每一个都可以仅通过“非A非B”的重复叠加来获得，我们用符号“A↓B”来表示“非A非B”。例如“如果A那么B”，就可以表示为：　　　　
　　　　（（（A↓A）↓B）↓（（A↓A）　↓B））　　　　
　　　　因为‘非A非B’只有在A，B都为假时，才为真。它的逻辑表格为：　　　　
　　　　　所有复合值都可以通过确认那些否定而得到！我们全部的声明都归结到被重复的谬误上，句子的逻辑平衡于否定的支点上！就好像我们已经打开了在我们思想最深处的密室里的盒子，并且发现0存在于它里面一样。早期人们可能已经看到这个下向的箭头已指向了营造天堂中的地狱的否定之精神。　　　　
　　　　皮尔斯和其后的舍菲尔所