投资学(第4版)-第120部分

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确实执行了，我们就获得了以S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为P　V　（X）的债

＇1＇　3　Fischer　Black　and　Myron　Scholes；　The　Pricing　of　Options　and　Corporate　Liabilities；　Journal　of　Political　
Economy　81（　May…June　1973）。　
＇2＇　Robert　C。　Merton；　Theory　of　Rational　Option　Pricing；　Bell　Journal　of　Economics　and　Management　
Science　4（Spring　1973）。　
＇3＇　布莱克于1　9　9　5年去世。

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558　第六部分期权、期货与其他衍生工具

务，或以连续复利计算为Xe　…r　T的债务。

现在再看2　1　…　1式，如果N（d）趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于N（d）在0与1之间时，2　1　…　1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。

那么，N（d）又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意l　n　（S0/X），在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果S0=　1　0　5，X=　1　0　0，期权实值
的百分比是5％，l　n　（　1　0　5　/　1　0　0　）　=　0　。　0　4　9，
同理，如果S0=　9　5，则期权虚值的百
分比是5％，l　n　（　9　5　/　1　0　0　）　=…0　。　0　5　1，分
母



T，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，N（d1）与N（d2）代表期权到期时处
于实值的概率。
布莱克…舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格S0=　1　0　0　利率r=　0　。　1　0　（每年1　0％）　
执行价格X=　9　5　期权期限T=　0　。　2　5　（　3个月）　
=　0　。　5　0　（每年5　0％）
首先计算：


ln（100/95）

＋　（0。10　＋　0。52　/2）′　0。25　
d1　=　


=　0。43　

0。5　
0。25　
d2　=　0。43　…　0。5　0。25　=　0。18　

接下去查N（d1）与N（d2），在统计书中可以查到正态分布表，如表2　1　…　2，查得
N（　0　。　4　3　）　=　0　。　6　6　6　4，　N（　0　。　1　8　）　=　0　。　5　7　1　4。
于是，看涨期权价值为
C=　1　0　0×0。666　4…9　5　e…0　。　1　0×0　。　2　5×0。571　4=66。64…52。94　=13。70美元


概念检验

问题6：如果股票的标准差为0　。　6而不是0　。　5，计算看涨期权价格，并说明标准差越
大，期权价值越大。

表21…2　累积正态分布

图21…6　标准正态曲线
N（d）=阴影区
d　N（d）　d　N（d）　d　N（d）　
…3　。　0　0　0　。　0　0　1　3　…0　。　7　8　0　。　2　1　7　7　0　。　8　4　0　。　7　9　9　6　
…2　。　9　5　0　。　0　0　1　6　…0　。　7　6　0　。　2　2　3　6　0　。　8　6　0　。　8　0　5　1　
…2　。　9　0　0　。　0　0　1　9　…0　。　7　4　0　。　2　2　9　7　0　。　8　8　0　。　8　1　0　6　
…2　。　8　5　0　。　0　0　2　2　…0　。　7　2　0　。　2　3　5　8　0　。　9　0　0　。　8　1　5　9　
…2　。　8　0　0　。　0　0　2　6　…0　。　7　0　0　。　2　4　2　0　0　。　9　2　0　。　8　2　1　2　
…2　。　7　5　0　。　0　0　3　0　…0　。　6　8　0　。　2　4　8　3　0　。　9　4　0　。　8　2　6　4　


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第21章期权定价

559　

（续）　

d　N（d）　d　N（d）　d　N（d）　
…2　。　7　0　0　。　0　0　3　5　…0　。　6　6　0　。　2　5　4　6　0　。　9　6　0　。　8　3　1　5　
…2　。　6　5　0　。　0　0　4　0　…0　。　6　4　0　。　2　6　11　0　。　9　8　0　。　8　3　6　5　
…2　。　6　0　0　。　0　0　4　7　…0　。　6　2　0　。　2　6　7　6　1　。　0　0　0　。　8　4　1　4　
…2　。　5　5　0　。　0　0　5　4　…0　。　6　0　0　。　2　7　4　3　1　。　0　2　0　。　8　4　6　1　
…2　。　5　0　0　。　0　0　6　2　…0　。　5　8　0　。　2　8　1　0　1　。　0　4　0　。　8　5　0　8　
…2　。　4　5　0　。　0　0　7　1　…0　。　5　6　0　。　2　8　7　7　1　。　0　6　0　。　8　5　5　4　
…2　。　4　0　0　。　0　0　8　2　…0　。　5　4　0　。　2　9　4　6　1　。　0　8　0　。　8　5　9　9　
…2　。　3　5　0　。　0　0　9　4　…0　。　5　2　0　。　3　0　1　5　1　。　1　0　0　。　8　6　4　3　
…2　。　3　0　0　。　0　1　0　7　…0　。　5　0　0　。　3　0　8　5　1　。　1　2　0　。　8　6　8　6　
…2　。　2　5　0　。　0　1　2　2　…0　。　4　8　0　。　3　1　5　6　1　。　1　4　0　。　8　7　2　9　
…2　。　2　0　0　。　0　1　3　9　…0　。　4　6　0　。　3　2　2　8　1　。　1　6　0　。　8　7　7　0　
…2　。　1　5　0　。　0　1　5　8　…0　。　4　4　0　。　3　3　0　0　1　。　1　8　0　。　8　8　1　0　
…2　。　1　0　0　。　0　1　7　9　…0　。　4　2　0　。　3　3　7　3　1　。　2　0　0　。　8　8　4　9　
…2　。　0　5　0　。　0　2　0　2　…0　。　4　0　0　。　3　4　4　6　1　。　2　2　0　。　8　8　8　8　
…2　。　0　0　0　。　0　2　2　8　…0　。　3　8　0　。　3　5　2　0　1　。　2　4　0　。　8　9　2　5　
…1　。　9　8　0　。　0　2　3　9　…0　。　3　6　0　。　3　5　9　4　1　。　2　6　0　。　8　9　6　2　
…1　。　9　6　0　。　0　2　5　0　…0　。　3　4　0　。　3　6　6　9　1　。　2　8　0　。　8　9　9　7　
…1　。　9　4　0　。　0　2　6　2　…0　。　3　2　0　。　3　7　4　5　1　。　3　0　0　。　9　0　3　2　
…1　。　9　2　0　。　0　2　7　4　…0　。　3　0　0　。　3　8　2　1　1　。　3　2　0　。　9　0　6　6　
…1　。　9　0　0　。　0　2　8　7　…0　。　2　8　0　。　3　8　9　7　1　。　3　4　0　。　9　0　9　9　
…1　。　8　8　0　。　0　3　0　1　…0　。　2　6　0　。　3　9　7　4　1　。　3　6　0　。　9　1　3　1　
…1　。　8　6　0　。　0　3　1　4　…0　。　2　4　0　。　4　0　5　2　1　。　3　8　0　。　9　1　6　2　
…1　。　8　4　0　。　0　3　2　9　…0　。　2　2　0　。　4　1　2　9　1　。　4　0　0　。　9　1　9　2　
…1　。　8　2　0　。　0　3　4　4　…0　。　2　0　0　。　4　2　0　7　1　。　4　2　0　。　9　2　2　2　
…1　。　8　0　0　。　0　3　5　9　…0　。　1　8　0　。　4　2　8　6　1　。　4　4　0　。　9　2　5　1　
…1　。　7　8　0　。　0　3　7　5　…0　。　1　6　0　。　4　3　6　5　1　。　4　6　0　。　9　2　7　9　
…1　。　7　6　0　。　0　3　9　2　…0　。　1　4　0　。　4　4　4　3　1　。　4　8　0　。　9　3　0　6　
…1　。　7　4　0　。　0　4　0　9　…0　。　1　2　0　。　4　5　2　3　1　。　5　0　0　。　9　3　3　2　
…1　。　7　2　0　。　0　4　2　7　…0　。　1　0　0　。　4　6　0　2　1　。　5　2　0　。　9　3　5　7　
…1　。　7　0　0　。　0　4　4　6　…0　。　0　8　0　。　4　6　8　1　1　。　5　4　0　。　9　3　8　2　
…1　。　6　8　0　。　0　4　6　5　…0　。　0　6　0　。　4　7　6　1　1　。　5　6　0　。　9　4　0　6　
…1　。　6　6　0　。　0　4　8　5　…0　。　0　4　0　。　4　8　4　1　1　。　5　8　0　。　9　4　2　9　
…1　。　6　4　0　。　0　5　0　5　…0　。　0　2　0　。　4　9　2　0　1　。　6　0　0　。　9　4　5　2　
…1　。　6　2　0　。　0　5　2　6　0　。　0　0　0　。　5　0　0　0　1　。　6　2　0　。　9　4　7　4　
…1　。　6　0　0　。　0　5　4　8　0　。　0　2　0　。　5　0　8　0　1　。　6　4　0　。　9　4　9　5　
…1　。　5　8　0　。　0　5　7　1　0　。　0　4　0　。　5　1　6　0　1　。　6　6　0　。　9　5　1　5　
…1　。　5　6　0　。　0　5　9　4　0　。　0　6　0　。　5　2　3　9　1　。　6　8　0　。　9　5　3　5　
…1　。　5　4　0　。　0　6　1　8　0　。　0　8　0　。　5　3　1　9　1　。　7　0　0　。　9　5　5　4　
…1　。　5　2　0　。　0　6　4　3　0　。　1　0　0　。　5　3　9　8　1　。　7　2　0　。　9　5　7　3　
…1　。　5　0　0　。　0　6　6　8　0　。　1　2　0　。　5　4　7　8　1　。　7　4　0　。　9　5　9　1　
…1　。　4　8　0　。　0　6　9　4　0　。　1　4　0　。　5　5　5　7　1　。　7　6　0　。　9　6　0　8　
…1　。　4　6　0　。　0　7　2　1　0　。　1　6　0　。　5　6　3　6　1　。　7　8　0　。　9　6　2　5　
…1　。　4　4　0　。　0　7　4　9　0　。　1　8　0　。　5　7　1　4　1　。　8　0　0　。　9　6　4　1　
…1　。　4　2　0　。　0　7　7　8　0　。　2　0　0　。　5　7　9　3　1　。　8　2　0　。　9　6　5　6　
…1　。　4　0　0　。　0　8　0　8　0　。　2　2　0　。　5　8　7　1　1　。　8　4　0　。　9　6　7　1　


560　第六部分期权、期货与其他衍生工具

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（续）　

dN（d）　dN（d）　dN（d）　

…1　。　3　8　0　。　0　8　3　8　0　。　2　4　0　。　5　9　4　8　1　。　8　6　0　。　9　6　8　6　
…1　。　3　6　0　。　0　8　6　9　0　。　2　6　0　。　6　0　2　6　1　。　8　8　0　。　9　6　9　9　
…1　。　3　4　0　。　0　9　0　1　0　。　2　8　0　。　6　1　0　3　1　。　9　0　0　。　9　7　1　3　
…1　。　3　2　0　。　0　9　3　4　0　。　3　0　0　。　6　1　7　9　1　。　9　2　0　。　9　7　2　6　
…1　。　3　0　0　。　0　9　6　8　0　。　3　2　0　。　6　2　5　5　1　。　9　4　0　。　9　7　3　8　
…1　。　2　8　0　。　1　0　0　3　0　。　3　4　0　。　6　3　3　1　1　。　9　6　0　。　9　7　5　0　
…1　。　2　6　0　。　1　0　3　8　0　。　3　6　0　。　6　4　0　6　1　。　9　8　0　。　9　7　6　1　
…1　。　2　4　0　。　1　0　7　5　0　。　3　8　0　。　6　4　8　0　2　。　0　0　0　。　9　7　7　2　
…1　。　2　2　0　。　111　2　0　。　4　0　0　。　6　5　5　4　2　。　0　5　0　。　9　7　9　8　
…1　。　2　0　0　。　11　5　1　0　。　4　2　0　。　6　6　2　8　2　。　1　0　0　。　9　8　2　1　
…1　。　1　8　0　。　11　9　0　0　。　4　4　0　。　6　7　0　0　2　。　1　5　0　。　9　8　4　2　
…1　。　1　6　0　。　1　2　3　0　0　。　4　6　0　。　6　7　7　3　2　。　2　0　0　。　9　8　6　1　
…1　。　1　4　0　。　1　2　7　1　0　。　4　8　0　。　6　8　4　4　2　。　2　5　0　。　9　8　7　8　
…1　。　1　2　0　。　1　3　1　4　0　。　5　0　0　。　6　9　1　5　2　。　3　0　0　。　9　8　9　3　
…1　。　1　0　0　。　1　3　5　7　0　。　5　2　0　。　6　9　8　5　2　。　3　5　0　。　9　9　0　6　
…1　。　0　8　0　。　1　4　0　1　0　。　5　4　0　。　7　0　5　4　2　。　4　0　0　。　9　9　1　8　
…1　。　0　6　0　。　1　4　4　6　0　。　5　6　0　。　7　1　2　3　2　。　4　5　0　。　9　9　2　9　
…1　。　0　4　0　。　1　4　9　2　0　。　5　8　0　。　7　1　9　1　2　。　5　0　0　。　9　9　3　8　
…1　。　0　2　0　。　1　5　3　9　0　。　6　0　0　。　7　2　5　8　2　。　5　5　0　。　9　9　4　6　
…1　。　0　0　0　。　1　5　8　7　0　。　6　2　0　。　7　3　2　4　2　。　6　0　0　。　9　9　5　3　
…0　。　9　8　0　。　1　6　3　5　0　。　6　4　0　。　7　3　8　9　2　。　6　5　0　。　9　9　6　0　
…0　。　9　6　0　。　1　6　8　5　0　。　6　6　0　。　7　4　5　4　2　。　7　0　0　。　9　9　6　5　
…0　。　9　4　0　。　1　7　3　6　0　。　6　8　0　。　7　5　1　8　2　。　7　5　0　。　9　9　7　0　
…0　。　9　2　0　。　1　7　8　8　0　。　7　0　0　。　7　5　8　0　2　。　8　0　0　。　9　9　7　4　
…0　。　9　0　0　。　1　8　4　1　0　。　7　2　0　。　7　6　4　2　2　。　8　5　0　。　9　9　7　8　
…0　。　8　8　0　。　1　8　9　4　0　。　7　4　0　。　7　7　0　4　2　。　9　0　0　。　9　9　8　1　
…0　。　8　6　0　。　1　9　4　9　0　。　7　6　0　。　7　7　6　4　2　。　9　5　0　。　9　9　8　4　
…0　。　8　4　0　。　2　0　0　5　0　。　7　8　0　。　7　8　2　3　3　。　0　0　0　。　9　9　8　6　
…0　。　8　2　0　。　2　0　6　1　0　。　8　0　0　。　7　8　8　2　3　。　0　5　0　。　9　9　8　9　
…0　。　8　0　0　。　2　11　9　0　。　8　2　0　。　7　9　3　9　

如果期权价格是1　5美元而不是1　3　。　7　0美元，那又会怎么样呢？是不是期权被错误
定价了呢？可能是，但在赌运气之前，应再考虑一下估价分析。首先，同所有模型一
样，布莱克…舒尔斯公式也是建立在使该模型近似有效的抽象简化基础之上的。

公式的一些重要假设如下：
1）　在期权到期之前，股票不支付红利。
2）　利率r与股票的方差



2保持不变（或更一般化些，两者均是时间的函数，完全可
预期）。
3）　股票价格是连续的，也就是说股票价格不会发生突然及大的波动。
已发展出变形的布莱克…舒尔斯公式来对付以上的这些限制条件。
其次，在布莱克…舒尔斯模型中，必须要弄清公式中的各个参数。其中的四个值

─S0、X、T与r，都是很直接的。股价、执行价格、期限是给定的，利率是相同期限
的货币市场利率。
最后的一个输入变量是股票收益率的标准差，这不能直接观察到。必须从历史数
据，从情景分析，从其他期权价格中估计出来，我们在下面将讨论这个问题。


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第21章期权定价

561　

我们在第5章讲过，股票市场收益率的历史方差可从n个观察值得到，其公式如
下：

2　=　n　（rt　…　r　）2　
n　…　1　t　=1　n　。（n）　
其中，r　是在样本期的平均收益率，在t天的收益率被定义为rt=　l　n　（St/St…1），与连续
复利一致（注意：一个比率取自然对数，其值近似于分子与分母的百分比差异，于是
l　n　（St/St…1）可以用来测度t…1期到t期的股票收益率）。历史方差一般用几个月的每日收益
来计算，因为标准差是估计出来的，所以真实的期权价格与算出的期权价格是有差异
的，这是由股票标准差的估计误差造成的。

事实上，市场参与者往往从不同的角度看期权定价问题。他们不是用所给的股票
标准差按照布莱克…舒尔斯公式去算期权价格，而是会问：如果我观察到的期权价格

与布莱克…舒尔斯公式计算出来的
期权价格一致的话，那么标准差
应该是多少呢？这就是期权隐含
的波动性（implied　volatility），即
期权价格中隐含的股票的标准差
水平＇　1　＇。投资者可以判断，是否实
际的股票波动性超过了隐含的波
动性，如果超过了，则购买期权
会带来收益。如果实际的波动性
比隐含的波动性高，期权的公平图21…7　标准普尔5　0　0指数隐含的波动性
价格就要高于观察到的价格。与历史波动性的比较
另一个不同角度是比较相同

股票的两个到期时间相同但执行价格不同的期权，具有较高隐含波动性的期权相对要
贵一些，因为需要较高的标准差来调节价格。分析家认为应买入低隐含波动性的期权，
而出售高隐含波动性的期权。

图2　1　…　7表示了历史的与隐含的标准普尔5　0　0指数收益率的标准差的具体情况及二
者的比较，隐含的波动性是从根据指数所交易的期权合约的价格得到的。注意，尽管
两条图线走向相当一致，但在波动性的估计值上二者间有滑移。我们还应注意，二者
在整个时期波动的差别很大。因此，选择合适的波动值用在期权定价模型中是个很难
的问题，现在很多研究致力于寻找预测波动变动的新技术。这些新技术被称为A　R　C　H　
模型，它认为股票波动性的变化只是部分可预测的，通过分析近来股票价格波动的水
平与趋式，可以改善未来波动性的预测。

概念检验

问题7：考虑布莱克…舒尔斯定价为1　3　。　7美元，而实际价格为1　5美元的期权，其隐
含的波动性大于还是小于5　0％？　

21。4。2　红利与看涨期权定价
我们已知道布莱克…舒尔斯公式要求股票不支付红利，当在期权到期之前股票支
付红利时，我们就要调整公式。红利的支付，提高了提前执行期权的可能性，对更接
近现实的支付红利的情况，定价公式变得比布莱克…舒尔斯公式更复杂。

我们可以由一些经验去近似求出期权价值。最初由布莱克建议的一种流行的方法，

＇1＇　这个概念的引入参见：Richard　E。　Schmalensee　and　Robert　r。　Trippi；　“Common　Stock　Vo　l　a