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mba十日读-第18部分
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其今天的价值（现值）是：
1美元×（1＋10％）…1=0。90909
用这一公式，从贴现系数表（Discount factors） 中可查
出 1 美元资金在不同期限内、不同贴现率下相应的净现值。
假设有 10％回报的再投资机会和相应的风险，根据折现系数
表，将来的1美元资金的现值，不同期限内的价值是：
贴现系数
今天的1美元=今天的1美元
一年后收到的1美元=今天的0。90909美元二年后收到的1美元=今天的0。82645美元
三年后收到的1美元=今天的0。75131美元
所以，Quarker公司项目的现金流可按下述方法评估：
将来的现金×贴现系数=净现值
年初 …102；000美元×1= …102；000美（今天）
1年后 51；000美元×0。90909=46；363。59美元（今天）
2年后 51；000美元×0。82645=42 ；148。95美元（今天）
3年后 61；000美元×0。75131=45；829。91美元（今天）
Quarker项目净现值=32；342。45美元（今天）
任何项目的评估都取决于：现金流量的大小、时间期限
和贴现率（在此例中贴现率为10％）。
贴现率大小的选取具有相当大的主观性。贴现率（也称
障碍率Hurdle rate）越高，将来收到的一元钱的现值越低 （见
附录）。之所以称之为障碍率是因为项目的贴现率越高，项
目就得挣回更多的现金才能达到净现值保持不变。这时项目
的障碍变得高了，要越过去才能持平。在分析投资的项目将
来收回资金有风险时，例如油井项目，选择高贴现率就很有
必要。如果对项目的回报确有把握，例如投资于提高劳动生
产率的设备，或美国国债，选择低贴现率则更有保证。不善
于利用 MBA 这方面专长的公司常常只用一种障碍率分析所有
的投资项目，这就忽略了项目各自不同的风险。无论在什么
情况下，除非是巧合，都不应用公司从银行的借款的利率作
为贴现率。决定项目贴现率的因素应是项目风险。风险很低
的公司有时使用低利率借到的贷款投资于风险很高的项目。
内部收益率
内部收益率（Internal Rate of Return； IRR） 是净现
值的一种衍变形式。简言之，将投资额的未来现金流量按某
一贴现率贴现，贴现后的总值正好和今天投资金额的总额相
等，这时的贴现率就是投资的内部收益率（即净现值等于零
时的贴现—译者注）。
确定内部收益率，必须经过多次计算比较（试差法），
直至项目的净现值等于零。（当然，再 HP 计算器就很容易得
出 IRR）Quarker 公司项目的内部收益率是 26。709％。计算的
过程如下：
用“26。709％贴现系数”
今天1。00×（…102；000）美元=…102；000美元一年后0。78920×51；000美元=40；250美元
二年后0。62285×51；000美元=31。765美元
三年后0。49155×61；000美元=29，985美元
NPV=0
内部收益率可用来评估并排出项目的优先级，但却未考
虑项目的资金占用量。于是，就会造成投资规模虽然小，但
因为回报相当高，因而排在了投资规模大收益也不错的项目
之前。如果通用电器公司斥十亿美元的资金于科研，投资大
项目上的资金占用也就很大，但项目的内部收益率却可能较
低。
用内部收益率方法排列项目优先级顺序，还忽略了用于
净现值分析中的障碍率贴现系数。障碍率，正如我前面已介
绍过的那样，是对风险的修正。如果其它条件相同，Quarker
公司投资购买设备这一项目的内部收益率可能要比 Merck 公
司投资瑞士高风险的癌症研究项目低，但 Quarker 公司项目
的净现值却可能较高。Quarker 公司的项目因风险较低以及相
对小的现金流量，选择 10％的贴现率贴现是合适的，因而 NPV
值也较高。癌症研究项目风险太高，所以用50％的贴现率分析。
请注意：选用的贴现率越高，未来现金的现值就越低，同时
意味着项目的风险也越高。
概率论
概率论（Probability Theory）是统计学的委婉语，因为
统计学是一门连商学院里最聪明的注册会计师（CPAs）也胆怯
的课程。实际上，概率论一词能更准确地描述如何统计学来
解决问题。在考虑石油钻井出油的概率时，Sam 应采取什么方
案？在美国前十所商学院 800 名已婚的 MBA 学生中，有多少
人会在学习的头一年里疏远其配偶？这些都涉及概论率的概
念。由于许多商人惧怕统计，于是 MBA 们就有了发挥才能的
机会。MBA 课程强调统计的实用性。如果你对统计不熟，请不
要跳过本节。我虽然无从只用几页纸就让你变成个统计通，
但我敢保证，只要你耐心读下去，就可以掌握今后工作中遇
到实际问题时所应具备的基本分析技能，也知道应于何时求
助于别人。MBA 课程最重视传授各门课程解决具体问题的实际
经验。
概率分布在事物可能出多种结果的情况下，就会有结果的分布。
每种可能都有一种概率。通过认真的分析，有时也凭直觉和
判断，事件（Event）可能结果的概率之和是 100％，这和决策树
中的情形一样。表示分布结果的图形叫做概率群或密度分布
函数（Probability density function）。如果可能出现的结
果较少，曲线就不匀称，称为概率群分布函数（Probability
mass function）。
降雨量概率群分布函数
西雅图每日降雨1992年4月（31天）
降雨分布举例
西雅图降雨量的分布就是一种概率分布。我们把假设收
集到的数据列表如下，其分布图附后。
西雅图每日降雨量数据表
（1992年4月）
降雨量概率密度分布函数
西雅图每日降雨量
1962—1992（1240天）
二项式分布
抛掷硬币得到的概率有一正一反两种可能。如果把得到
两个“正面”结果算作成功，那么，抛掷两个硬币的结果分
布就有以下几种可能。
两个都成功 正面/正面
一个成功/一个失败 正面/反面；反面/正面
两个均失败 反面/反面
抛掷硬币的结果是分布的最基本情况，称为二项式分布
（Binomial distribution）。二项式分布的结果有两种：成
功和失败。二者发生的机会相等。
貌似神秘的二项式理论也可用来分析股票市场的实际问
题。在分析股票时，某月内股票的回报如果为正，则称其为
成功；为负或持平时就称其为失败。对 1957 年至 1977 年美国 AT&T 公司股票价格的研究表明，对每月都进行分析以确定
成功出现的频率，人们发现56。7％的情况下，结果是成功的。
将分析的数据按每三个月（季度）一组列出，研究人员
发现实际成功的频率如下：
#成功次数 发生频率
0 0。088
1 0。325
2 0。387
3 0。200
1。000
数学家把抛硬币的结果列表用以解决所有的二项式分布
问题。在 AT&T 的例子中，利用二项式表格之前需要了解的数
据是：
r=成功可能次数=0到3
n=试验次数=3（一季度内3个月）
P=成功概率=56。7％
利用这些数据，从二项式表中得出的期望结果应是：
#成功 期望频率
0 0。082
1 0。318
2 0。416
3 0。184
1。000
令人惊奇的是，二项式的分布和 AT&T 的实际情况相当接
近。在已知假设的成功概率（p）后，每一季度内赚钱月份的
情况就可以从二项式表中得到。因此，二项式分布对负责投
资组合的基金管理者、公司负责销售的董事和研究人员分析
项目概率、确有实用价值。
正态分布：钟型曲线之迷
正态分布（Normal distribution） 是应用最普遍的理论，通常称为钟型曲线（Bell curve）。哈佛大学用钟型曲
线确定学生考试成绩。曲线表明 15％的学生考试刚刚擦边及
格。 达顿商学院的教授们凭借自己的判断给出不太满意的C （极
格）和 F（不及格）。结果两所学校校园的竞争风气截然不同。
不同标准偏差曲线的概率密度分布函数
当概率群分布函数是基于多次试验基础之上时，曲线就
趋向于类似钟型的形状，我们称之为概率密度分布函数。描
述西雅图降雨分布的两张图即是这种情况。中间的凸起部分
是由于“中间集中理论”（Central Limit Theorem）作用引起
的。它说明“独立事件重复发生的概率的平均分布呈一种钟
型形状的正态分布”。为什么？简单说，就是因为大量独立
事件的趋势是向中间平均值临近。
“平均事件”这一概念相当含糊。在用应用举例中其定
义延伸到可包括任何一大组的数据。为什么？因为正态分布
易于使用，且和实际生活中的情况又极其相似。市场变化不
定造成股票价格浮动，最终导致或盈或亏的回报结果。回报
可以被认为是市场变化的“平均”值。正如任何事情都可以
用具有平均性来解释一样，正态分布的实用性亦如此。
正态曲线的测量
钟型曲线可用两个名词来描述，即中项（Mean）和标准偏
差（Standard deviation； SD）。中项（μ）是曲线的中心部分，
通常称这个中项为平均值。平均值是用数据加在一起之总和
除以数据点。标准偏差（σ）是衡量偏离平均值的宽窄程度。
在概率概念中，这两个名词是非常重要的。
其中用的较少的衡量一组数据平均值的方法还有“中值”
（Median），即按数字大小排列后的中间项数值，和“众数值”
（Mode）； 即一组数据中出现频率最高的数。
和二项式分布一样，曲线下代表所有出现结果的可能之
和为 100％。正态分布曲线特别的地方在于，对于任何已知的
偏离中项、中心的标准偏差，尽管正态分布的形状不同，但
事件的概率相同。
零售业正态分布举例
鞋店老板 Al Bundy 先生想要知道店里的库存能否满足顾客对不同尺寸鞋子的需求。他从鞋业研究中心买了一份女鞋
尺寸调研报告，并通过问卷调查收回了大量数据。
他将收集到的数据画在坐标图上，得到的形状像是一正
态分布。另外，他将鞋的不同尺寸也输入计算器，得到标准
偏差数值是“2”。他还分析了所收到的问卷中的鞋子尺寸平
均值，得到的号码是“7”。再看亲手绘制的图表，确实是个
令人可信的正态分布。
对正态分布图，Al Bundy 先生可以用上分析正态分布曲
线的原理。此原理适用于所有正态分布曲线线下区域：
ISD=0。3413
2SD=0。4772
3SD=0。49865
4SD=0。4999683
依据这一原理，若 Bundy先生库存鞋的号码在5—9之间，
就包括了人群穿鞋号码的68。26％（2×
鞋子尺寸正态分布
0。3413）。库存的号码如果在3—11 之间，就包括了 95。44％。
如果库存的鞋从 1—13 号都有，那么，光顾他商店的 99。73％
顾客就都会满意。对那些低于 1 或高于 13 的特号鞋，他总是
可以随时从别处定得到的。
当然，学有用于确定曲线上任一特殊点处的概率（中项
以外的非整数标准偏差）正态分布表。用此表之前，必须先
算出（Z value），即：
正态分布曲线财务举例
让我们把刚学到的概率论的原理应用到金融上。以每月
回报率波动的先锋航空公司（Pioneer Aviation）股票为例，
假设成正态分布形状。对该股票以往的回报统计表明，平均
值为 1％，标准偏差为 11％。Gerald Rasmussen 先生想知道下
个月股票的回报率低于13％概率是多少。
Z =
（13 …1）
11
= 1。09（离平均值的标准偏差）
概率密度分布函数
先锋航空公司每月股票回报率平均值
每月股票回报率
用新计算出的Z值概念可以计算出：
从附录中的提供的正态分布表可以查到：1。09 标准偏差
=0。3621。和所有正态分布图一样，图中左半部分的概率是
50％。在所有的正态分布中，超过或低于中项的概率是 50％。
根据这些条件，我计算出，该股票回报率低于 13％的概率是
86。21％（即，36。21％＋50％），超过 13％的概率是 13。79％（即，
1…86。21％）。这就是用概率理论解决金融上实际问题的具体
例子。
如果不太过分强调理论，概率统计实际并不难。此外，
还有一些其它类型的分布，但商业上用的较少。泊松分布
（Poisson Distribution），和正态分布类似，但图形右侧
尾部展开。但多数分布都被假设是正态分布，以利用正态分
布标准偏差的原理分析问题。
累计分布函数
累计分布函数 （ Cumulative distribution
function；CDF）是对概率分布的累计观察。它分析诸如钟型
曲线等概率集合分布函数，了解“结果出现小于或等于该值
时的概率是多少？”从普通的正态分布曲线，能知道某一已
知结果出现的概率是多少，而累计分布函数能告诉我们一组
已知的价值范围内出现的概率有多大。累计分布函数还可以
用来把我们掌握的概率理论和决策工具（决策树）结合起来。
累计分布函数研究在许多数量价值不确定下所可能出现的结
果的范围。
仍以前文提出的钻井项目为例，分析一下如果地下有油，
其油量价值分布的情况。油量价值 概率集合分布函数 累计分布函数
累计概率
小于或等于
50000 0。005 0。005
75000 0。01 0。015（0。005＋0。01）
150；000 0。03 0。045（0。03＋0。01＋0。005）
200；000 0。08 0。125
300；000 0。12 0。245
750；000 0。15 0。395
1；100；000 0。21 0。605
1；200；000 0。15 0。755
1；400；000 0。12 0。875
1；700；00 0。08 0。955
2；000；000 0。03 0。985
2；500；000 0。01 0。995
6；000；000 0。005
1。00
1。00
概率密度分布函数
先锋航空公司每月股票回报率
平均值
每月股票回报率
在前文的树型图举例中，我们曾假设该项目的收益是
1；000；000 美元。为方便起见，我们取该值为采到油的期望值
（EMV）。实际上该项目出油的结果分布范围较广。从表中可
以看出，出现收益为 6；000；000 美元的概率是 0。5％，出现收
益为50；000 美元的概率也是 0。5％。如果用发生每一概率的金
额乘以其第二列中对应的概率，得出的期望值就等于我们前
面用�
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