清史稿-第940部分

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嗉跷�长阔和，求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恆为首末二率，高阔和恆为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

其指识正、负开方也，“元李冶传洞渊九容术，撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详於宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章，得此始贯於一。好古之士，翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数，以较几真数。若少於真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多於真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录磬氏倨句解一册。

陈杰，字静弇，乌程诸生。考取天文生，任钦天监博士，供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十九年，谢病归，卒于家。生平邃于算学，尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷，后十馀年，又为之指画形象，成图解三卷；又博采训诂，考正其传写之舛譌，稽合各本之同异，别成音义一卷。

其自述比例言有曰：“比例之法，昉自九章，传由西域，在古法曰异乘同除，在西法曰比例等。假如甲有钱四百，易米二斗，问乙有钱六百，易米几何？答曰三斗。法以乙钱为实，甲米乘之，得数，甲钱除之，即得。钱与米异名相乘，与钱同名相除，故谓之异乘同除，此古法也。以甲钱比甲米，若乙钱与乙米。凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言与者四率。二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。古法元、明时中土几以失传，不知何时流入西域。明神宗时，西人利玛窦来中国，出其所著算书，中人矜为创获，其实所用皆古法，但异其名色耳。兹以西人名色解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合辙也。”

又有论曰：“二十一史律志无不用比例者，他如九章、缉古、十种算书，多用比例，无如古人总不言比例。如缉古第二问，求均给积尺，欲以本体求又一形之体，忽取两面冪之数，一用以乘，一用以除，而得数。又第九问求员囤，第十问求员窖，忽以周径乘除，即如方亭法求之，诸数悉得。走作图解，审谛久之，而始知为比例，乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者，罔弗比例矣。”

又自道光以来，尝亲在观象台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分，未经奏明，故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编，监臣即取此数上之，而钦定颁行焉。

晚年所譔为算法大成，上编十卷，首加、减、乘、除，次开方、句股，次比例、八线，次对数，次平三角、弧三角。门分类别，皆先列旧法，而以新法附之，图说理解，不惮反覆详明，

专为引诱初学设也。下编十卷，则有目无书。其言曰：“算法之用多端，第一至要为治历，故下编言在官之事，先治历，次出师，次工程钱粮，次户口盐司，次堆积丈量；儒者则考据经传，下及商贾庶民，则赀本营运，市廛交易，持家日用，凡事无钜细，各设题为问答，以明算法之用，盖如此之广云。”下编似未成。其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

兆庆，字宝书，归安人。沉潜好学，为项学正两边夹角迳求对角新法图说，谓其讲解明晰，戛戛独造。

福僖，字南坪，乌程诸生。精究小轮之理，著有慧星考略。

时曰淳，字清甫，嘉定人。精算术。发明古人术意，无不入微。咸丰末，与长沙丁取忠同客胡林翼幕府，每与商榷数理，见丁氏数学拾遗之百鸡术，谓与二色方程暗合。因为广衍，立二十八题，以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下，为十四耦。诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣，作百鸡术衍二卷。

自序略曰：“张丘建算经鸡翁鸡母题问，甄、李两裕Ъ傲跣⑺锊荩�皆未达术意，不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗，设术与二色方程暗合，乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术，以大小较求中数，取径颇巧，然遇较除共较实適尽者，则不可求。方程术则遇法除实得中数，不尽者以分母与减率相求而齐同之，无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳。夫题祗本经一术，算理之微妙，不如孙子不知数一问，而术文各隐秘。彼则但举用数，此亦仅著加减三率，於前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘，必待学者深思而自得乎？孙子求一术，至宋秦道古发之，独是题袭谬传讹，无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久，今年春与果臣连榻鄂城，复一商榷，别后数月乃通之。怡然涣然，了无滞凝，亦穷愁中一快事也。因衍方程术为数学拾遗补，求负数法及加减率求答数法，附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法，及大中较、大小较互求得中数、小数法，引伸钩索，温故知新，庶足以大暢厥旨乎！易翁、母、雏为大、中、小，设数不必以百，而统以百鸡命之者，识斯术所自昉也。”

李锐，字尚之，元和诸生。幼开敏，有过人之资。从书塾中检得算法统宗，心通其义，遂为九章、八线之学。因受经於钱大昕，得中、西异同之奥，於古历尤深。自三统以迄授时，悉能洞澈本原。

尝谓：“三统，世经称殷术，以元帝初元二年为纪首，是年岁在甲戌。推而上之，一千五百二十岁而岁值甲寅为元首，又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年，用四分上推，太初元年得至朔同日，而中馀四分日之三，朔馀九百四十分之七百五，故太初术亏四分日之三，去小馀七百五分也。《汉书》载三统而不著太初，其实一月之日，二十九日八十一分日之四十三，是日法、月法与三统同。贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分，是统法周天又与三统同。盖四分无异於太初，而太初亦得谓之三统。郑注召诰，周公居摄五年二月三月，当为一月二月，不云正月者，盖待治定制礼，乃正言正月故也。江徵君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之，其说未核。今案郑君精於步算，此破二月三月为一月二月，以纬候入蔀数，推知上推下验，一一符合，不仅检勘一二年间事也。”

因据诗大明疏，郑注尚书文王受命，武王伐纣时日皆用殷历甲寅元，遂从文王得赤雀受命年起，以乾凿度所载之积年推算，是年入戊午蔀，二十九年岁在戊午，与刘歆所说殷历周公六年始入戊午蔀不同。歆谓文王受命九年而崩，崩后四年武王克殷，后七年而崩，明年周公摄政元年，较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事，其年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，并与郑不合。乃以推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，著召诰日名考，此融会古历以发明经术者也。

当是时，大昕为当代通儒第一，生平未尝亲许人，独於锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术日法一万五百岁，实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王湜易学，谓每年於三百六十五日二千四百四十分之外，有终於五分者，有终於六分者，有终於五六分之间者。终於五分者，五代王朴钦天历是也，以七千二百为日法。终於六分者，近年万分历是也，以一万分为日法。终於五六分之间者，景祐历法载於太乙遁甲中是也，以一万五百分为日法，此暗用授时法也。试以日法为一率，岁实为二率，授时日法一万为三率，推四率，得三百六十五万二千四百二十五分，即授时之岁实也。探本穷源，一言破的。

近世历算之学，首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎，嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间，非开皇己未；梅氏谓回回历实用洪武甲子为元，而讬之於开皇己未。其算宫分，虽以开皇己未为元，其查立成之根，则在己未元后二十四年，二说并同。

戴氏谓回回历百二十八年闰三十一日，是每岁三百六十五日之外，又馀百二十八分日之三十一也。以万万乘三十一，满百二十八而一，得二千四百二十一万八千七百五十，地谷所定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分内子以万万乘之，满日法而一，亦得二千四百二十一万八千七百五十，与梅氏疑问所云合。是三家所论，未尝不确知灼见，然均未得其详。锐据明史历志、回回本术，参以近年瞻礼单，精加考核，谓回回历有太阳年，彼中谓为宫分；有太阴年，彼中谓为月分。宫分有宫分之元，则开皇己未是也；月分有月分之元，则唐武德壬午是也。自开皇己未至洪武甲子，积宫分年七百八十六，自武德壬午至洪武甲子，积月分年亦七百八十六，其惑人者即此两积年相等耳，因著回回历元考。有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法，以为不明乎此，虽有立成，不能入算也。稿佚未刊。

梅氏未见古九章，其所著方程论，率皆以臆创补，然又囿於西学，致悖直除之旨。锐寻究古义，探索本根，变通简捷，以旧术列於前，别立新术附於后，著方程新术草，以期古法共明於世。古无天元一术，其始见於元李冶测圆海镜、益古演段二书，元郭守敬用之，以造授时历草，而明学士顾应祥不解其旨，妄删细草，遂致是法失传。自梅文穆悟其即西法之借根方，於是李书乃得郑重於世。其有原术不通，别设新术数则，更於梅说外辨得天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减法少有不同。

且不满顾氏所著之句股、弧矢两算术，谓：“弧矢肇於九章方田，北宋沈括以两矢冪求弧背，元李冶用三乘方取矢度，引伸触类，厥法綦详。顾氏如积未明，开方徒衍，不亦傎乎？”爰取弧矢十三术，入以天元，著弧矢算术细草。并仿演段例，括句股和较六十馀术，著句股算术细草，以导习天元者之先路。

又从同里顾千里处得秦九韶数学九章，见其亦有天元一之名，而其术则置奇於右上，定於右下，立天元一於左上。先以右上除右下，所得商数与左上相生，入於左下。依次上下相生，至右上末后奇一而止，乃验左上所得以为乘率。与李书立天元一於太极上，如积求之，得寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求一中之又一天元，秦与李虽同时，而宋元则南北隔绝，两家之术，无缘流通，盖各有所授也。

锐尝谓：“四时成岁，首载虞书，五纪明历，见於洪范。历学诚致治之要，为政之本。乃通典、通考置而不录，邢云路虽撰古今律历考，然徒援经史，以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰历法通考之议，卒未成书。因更网罗诸史，由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历，下逮元、明数十馀家，一一阐明义蕴，存者表而章之，缺者考而订之，著为司天通志，俾读史者启其扃，治历者益其智。”惜仅成四分、三统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全。

开方说三卷，锐读秦氏书，见其於超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法，颇得古九章少广之遗，较梅氏少广拾遗之无方廉者，不可以道里计。盖梅氏本於同文算指、西镜录二书，究出自西法，初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明，以著其说。甫及上、中二卷而卒，年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之。

应南，字见山，号斗一，广东顺德人。嘉庆戊寅顺天经魁，以书馆议叙，选浙江丽水县知县，调平阳县知县。海疆俸满，加六品衔，卒於官。

骆腾凤，字鸣冈，山阳人。嘉庆六年举人，道光六年，大挑一等，用知县。以母老不原仕，改授舒城县训导。未一年，告养归，教授里中，学徒甚众。二十二年八月，卒於家，年七十有二。性敏锐，好读书，尤精畴人术。在都中从锺祥李潢学，研精覃思，寒暑靡间。

著开方释例四卷，自序略谓：“天元一术，见宋秦九韶大衍数中，不言创於何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书，亦用此例。冶称其术出於洞渊九容，今不可详所自矣。是书自平方以至多乘，悉用一术，即刍童、羡馀诸形，亦可握觚而得，洵算术之秘钥也。西法借根方实原於此，乃以多少代正负，徒欲掩其�