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明史-第51部分
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之限也,乃在天不及二度余。岂非旧法春分每后天二日,秋分先天二日耶?
十年正月辛丑朔,日食,天经等预推京师师见食一分一十秒,应天及各省分
秒各殊,惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。《大统》推
食一分六十三秒,《回回》推食三分七十秒,东局所推止游气侵光三十馀秒。而
食时推验,惟天经为密。时将废《大统》,用新法,于上管理另局历务代州知州
郭正中言:“中历必不可尽废,西历必不可专行。四历各有短长,当参合诸家,
兼收西法。”十一年正月,乃诏仍行《大统历》,如交食经纬,晦朔弦望,因年
远有差者,旁求参考新法与回回科并存。上年,进天经光禄寺卿,仍管历务,十
四年十二月,天经言:“《大统》置闰,但论月无中气,新法尤视合朔后先。今
所进十五年新历,其十月、十二月中气,适交次月合朔时刻之前,所以月内虽无
中气,而实非闰月。盖气在朔前,则此气尚属前月之晦也。至十六年第二月止有
惊蛰一节,而春分中气,交第三月合朔之后,则第二月为闰正月,第三月为第二
月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食,测又独验。八月,
诏西法果密,即改为《大统历法》,通行天下。未几国变,竟未施行。本朝用为
宪历。
按明制,历官皆世业,成、弘间尚能建修改之议,万历以后则皆专己守残而
已。其非历官而知历者,郑世子而外,唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有
著述。唐顺之未有成书,其议论散见周述学之《历宗通议》、《历宗中经》。袁
黄著《历法新书》,其天地人三元,则本之陈壤。而雷宗亦著《合壁连珠历法》
皆会通回回历以入《授时》,虽不能如郑世子之精微,其于中西历理,亦有所发
明。邢云路《古今律历考》,或言本出魏文魁手,文魁学本虑浅,无怪其所疏
《授时》,皆不得其旨也。
西洋人之来中土者,皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同,而加精密。尝考前
代,远国之人言历法者多在西域,而东南北无闻。(唐之《九执律》,元之《万
年历》,及洪武间所译《回回历》,皆西域也。)盖尧命义、和仲叔分宅四方,
义仲、义叔、和叔则以隅夷、南交、朔方为限,独和仲但曰“宅西”,而不限以
地,岂非当时声教之西被者远哉。至于周末,畴人子弟分散。西域、天方诸国,
接壤西陲,百若东南有大海之阻,又无极北严寒之畏,则抱书器而西征,势固便
也。瓯罗巴在回回西,其风俗相类,而好奇喜新竞胜之习过之。故则历法与回回
同源,而世世增修,遂非回回所及,亦其好胜之欲为之也。义、和既失其守,古
籍之可见者,仅有《周髀》范围,亦可知其源流之所自矣。夫旁搜采以续千百年
之坠绪,亦礼秀求野之意也,故备论也。
卷三十二 志第八
◎历二
▲大统历法一上(法原)
造历者各有本原,史宜备录,使后世有以考。如《太初》之起数钟律,《大
衍》之造端蓍策,皆详本志。《授时历》以测算术为宗,惟求合天,不牵合律吕、
卦爻。然其法所以立,数之所从出,以及晷影、星度,皆有全书。郭守敬、齐履
谦传中,有书名可考。《元史》漫无采摭,仅存李谦之《议禄》、《历经》之初
稿。其后改三应率及立成之数,与夫割圆弧矢之法,平立定三差之原,尽削不载。
使作者精意湮没,识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书,稍为编次,
首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股测望,曰弧矢割圆,曰黄赤道
内外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。
▲句股测望
北京立四丈表,冬至日午正,测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太
阳南至地平二十六度四十六分半,为半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周
天半径,截矢余五十四度九十六分为股,乃本地支戴日下之度。以弦股别句术,
求得句二十六度一下七分六十六秒,为日出地半弧弦。
北京立四丈表,夏至日午正,测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太
阳南至地平七十四度二十六分半,为半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。
置周天半径,截矢余一十七度一十三分二十五秒为句,乃本地去戴日下之度。以
句弦别股术,求得股五十八度四十五分半,为日出地半弧弦。
以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,为北京赤
道出地度。以赤道出地度转减周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,
为北京北极出地度。
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。(少不用。)半径六十零度八十七分半。
(又为黄赤道大弦。)二至黄赤道内外半弧背二十四度。(所测就整。)二至黄
赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股
五十六度零二分六十八秒。(半径内减去矢度之数。)
割圆求矢术置半弧度自之,为半弧背幕,周天径自之,为上廉。上廉乘半
弧背幕,为正实。上廉乘径,为益从方。半弧背倍之,乘径,为下廉。以初商乘
上廉,得数以减益从方,余为从方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,为从廉。
从方、从廉相并,为下法。下法乘初商,以减正实,实不足减,改初商。实有不
尽,次第商除之。倍初商数,与次商相并以乘上廉,得数以减益从方,余为从方。
并初商次商而自之,又以初商自之,并二数以减下廉,余以初商倍数并次商乘之,
为从廉。从方、从廉相并,为下法。下法乘次商,以减余实,而定次商。有不尽
者,如法商之,皆以商得数为矢度之数。(黄赤道同用。)
如以半弧背一度求矢。术曰:置半弧背一度自之,得一度,为半弧幕。置周
天径一百二十一度太自之,得一万四千八百二十三度零六分二十五秒,为上廉。
上廉乘半弧背幕,得一万四千八百二十三度零六分二五,为正实。上廉又乘径,
得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五,为益从方。半弧背一度
倍之,得二度,以乘径得二百四十三度五十分,为下廉。初商八十秒。置初商八
十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以减益
从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五,余一百八十零万四千五百八十
九度二七四八七五,为从方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以减下廉余二
百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,为从廉。
以从廉、从方并之,共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八,
为下法。下法乘初商,得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,
以减正实,余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初
商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一万四千八百二十
三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以减益从方,余一百八十零万
四千四百六十七二五七六二五,为从方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。
加初商八十秒自之之数,得一秒三十一微,以减下廉,余二百四十三度四九九八
六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,为从廉。
以从廉、从方并,得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,
为下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以减余
实,仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒叶不用,下同。)
凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以为黄赤相求及其内外度
之根。(数详后。)
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。置周天半径内减去黄道矢度,余为黄赤道小
弦。置黄赤道小弦,以黄赤道大股乘之(大股见割圆)为实。黄赤道大弦(半径)
为法。实如法而一,为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实,以周天全径为法,实如
法而一,为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度,(即黄道半弧背。)余为黄道
半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕,黄赤道小股自之为句幕,二幕并之,以开
平方法除之,为赤道小弦。置黄赤道半弧弦,以周天半径(亦为赤道大弦)乘之
为实,以赤道小弦为法而一,为赤道半弧弦。置黄赤道小股,(亦为赤道横小句)
以赤道大弦(即半径)乘之为实,以赤道小弦为法而一,为赤道横大句,以减半
径,余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实,以全径为法而一,为赤道半背弦差。以
差加赤道半弧,为赤道积度。
如黄道半弧背一度,求赤道积度。术曰:“置半径六十零度八十七分五十秒,
(即黄赤道大弦。)内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八,为黄赤道小弦。
置黄赤道小弦,以黄赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七
二零三零二四为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法,实如法而一,得五十六
度零一分九十二秒,为黄赤道小股。(又为赤道小句。)置矢度八十二秒自之,
得六十七微,以全径一百二十一度七五为法,除之得五十五纤,为黄道平半背弦
差。置黄道半弧弦一度,内减黄道半背弦差,余为半弧弦,因因差在微以下不减,
即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之,得一度为股幕。黄赤道小股五十六
度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千
一百三十九度一五零七六八六四为弦实,平方开之,得五十六度零二八一,为赤
道小弦。置黄道半弧弦一度,以半径(即赤道大弦)乘之,得六十零度八七五为
实,以赤道小股五十六度零二八一为法除之,得一度零八分六十五秒,为赤道半
弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二,(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)
六十零度八七五乘之,得三千四百一十零度一六八八为实,以赤道小弦为法除之,
得六十零度八十六分五十三秒,为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒,
内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒,余九十七秒,为赤道横弧矢。置赤道
横弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全径为法除之,得七十纤,为赤道背
弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,为赤道积度,今差在
微已下不加,即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法,求到各黄道度下赤道
积,两数相减,即得黄赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黄道,反此求
之,其数并同。
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
(表格略)
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
(表格略)
按郭敬创法五端,内一曰黄道差,此其根率也。旧法以一百一度相减乘。
《授时》立术,以句股、弧矢、方圆、斜直所容,求其数差,合於浑象之理,视
古为密。顾《至元历经》所载略,又误以黄道矢度为积差,黄道矢差为率,今正
之。
▲割圆弧矢图
凡浑圆中剖,则成平圆。任割平圆之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,
有矢。剖弧矢形而半之,则有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧
弦为句,矢减半径之余为股,半径为弦。句股内成小句股,则有小句、小股、小
弦、而大小可互求,平侧可互用,浑圆之理,斯为密近。
平者为赤道,斜者为黄道。因二至黄道赤之距,生大句股。因各度黄赤之距,
生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视,则黄道在赤道内,有赤道各度,即各有其半弧
弦,以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图,然表亦图之属也。今句股割弧矢之法,实为历家测算之本。非
图不明,因存其要者数端。
▲黄赤道内外度
推黄道各度,距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦,余为赤道
二弦差。(又为黄赤道小弧矢,又为内外矢,又为股弦差。)置半径内外减去黄
道矢度,余为黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实,以黄赤道大弦为
法,(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦,又为黄赤道小
句。)置黄赤道小弧矢自之,(即赤道二弦差。)以全径除之,为半背弦差。以
差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背,即黄赤道内外度。置黄赤道内外度,视在
盈初缩末限以加,在缩初盈天限以减,皆加减象限度,即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度,求太阳去赤道内外及去极度。术曰:“置半径六十零度
八十七分半,内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度
五十一分八十一秒,为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五,
内减黄道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,
为黄赤道小弦。置黄赤道小弦,以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之,
得一千零五十零度五十一分四二三八为实,以黄赤道大弦六十零度八七五为法除
之,得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道
小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实,以全径地百二十一度七十五分除之,得
五分二十一秒为背弦差,以差加黄赤道小弧弦一
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